Quy tắc với hai giới hạn hữu hạn
Nếu uₙ→a và vₙ→b, với a,b là số thực, thì tổng, hiệu, tích có giới hạn lần lượt a+b,a−b,ab. Thương có giới hạn a/b **khi b≠0**.
Nếu uₙ≥0 và uₙ→a thì a≥0 và √uₙ→√a. Các điều kiện chỉ cần đúng từ một chỉ số đủ lớn.
Ví dụ 3+1/n→3+0=3. Chỉ phần 1/n về 0, hằng số 3 không mất đi. Nếu tử và mẫu cùng về 0, chưa được dùng quy tắc thương.
Chia cho lũy thừa bậc cao nhất
Tính giới hạn $u_n=(3n^2+n)/(2n^2-1)$. Chia cả tử và mẫu cho n²:
$$u_n=\frac{3+1/n}{2-1/n^2}.$$
Tử mới tiến tới 3, mẫu mới tiến tới 2≠0, nên uₙ→3/2. Ta đã đưa về thương của hai giới hạn hữu hạn, không thực hiện phép chia “∞/∞”.
Giữ hằng số
Giới hạn của 5−2/n là
Chỉ 2/n về 0.
Đúng: hằng số 5 được giữ lại.
−2 vẫn còn chia cho n.
3 là giá trị tại n=1.
Lời giải
5−2/n→5−0=5.
Hiệu hai căn lớn: nhân liên hợp
Tính giới hạn $\sqrt{n^2+2n}-n$. Hai phần đều lớn dần nên không trừ hai kí hiệu vô cực. Nhân liên hợp:
$$\sqrt{n^2+2n}-n=\frac{2n}{\sqrt{n^2+2n}+n}.$$
Vì n>0, chia cả tử và mẫu cho n được $2/(\sqrt{1+2/n}+1)$. Biểu thức tiến tới 2/(1+1)=1.
Điều kiện n>0 giúp viết √n²=n; với biến có thể âm phải dùng √x²=|x|.
Khi kết quả là vô cực
Với uₙ=n²−3n, đặt n² ra ngoài: uₙ=n²(1−3/n). Thừa số đầu →+∞, thừa số sau →1>0, nên uₙ→+∞.
Một số quy tắc thường dùng: tử có giới hạn hữu hạn, mẫu →±∞ thì thương →0; tử →a>0, mẫu dương →0 thì thương →+∞. Dấu âm ở tử hoặc mẫu sẽ đổi dấu kết quả tương ứng.
Các dạng 0/0, ∞/∞, ∞−∞, 0·∞ chưa cho kết luận ngay. Ta cần biến đổi biểu thức, không gán cho chúng một giá trị cố định.
Tử bậc thấp hơn mẫu
Tìm giới hạn $(2n+1)/(n^2+3)$.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Tử bậc 1, mẫu bậc 2; sau khi chia $n^2$, tử tiến về 0.
Mẫu tăng nhanh hơn tử một bậc nên thương tiến về 0.
Các hằng số không phải hạng bậc cao quyết định giới hạn ở vô cực.
Lời giải
Chia n²: $(2/n+1/n^2)/(1+3/n^2)\to0/1=0$.
Căn và thương
Tìm giới hạn $\sqrt{4n^2+1}/n$.
Sau khi đưa $n^2$ ra khỏi căn, còn $\sqrt4=2$.
Ta được $\sqrt{4+1/n^2}$, không phải một biểu thức tiến về 0.
Dãy xét $n$ nguyên dương nên $\sqrt{n^2}=n$.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Lời giải
n>0 nên thương bằng $\sqrt{4+1/n^2}\to2$.
Không bỏ qua dấu
Tìm giới hạn 2n−n².
Hạng bậc cao nhất là $-n^2$, có hệ số âm.
Với đa thức không chia cho $n^2$, độ lớn còn tăng không bị chặn.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Không được coi dạng $\infty-\infty$ là 0; cần đặt $n^2$ ra ngoài.
Lời giải
2n−n²=n²(2/n−1); thừa số sau→−1 nên giới hạn −∞.
Mẫu có giới hạn bằng 0
Cho uₙ→0,vₙ→0. Có thể kết luận uₙ/vₙ→1 không? Nêu ví dụ.
Dạng $0/0$ chưa xác định giới hạn của thương.
Giới hạn bằng 0 không có nghĩa các số hạng bằng 0 để khử.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Tùy tốc độ tiến về 0, thương có thể ra nhiều giới hạn khác nhau hoặc không có giới hạn.
Lời giải
Không. Chọn uₙ=1/n,vₙ=1/n² thì thương bằng n→+∞. Dữ kiện hai giới hạn 0 chưa đủ.
Điều cần nhớ
Phân thức theo n thường chia cho lũy thừa cao nhất; hiệu có căn thường nhân liên hợp. Chỉ dùng quy tắc thương khi mẫu mới có giới hạn khác 0.
Đang học