Trước khi bắt đầu
Ở bài cực trị, ta so sánh giá trị hàm với các giá trị ở gần một điểm. Bây giờ, ta cần so sánh trên **toàn bộ tập mà đề cho**. Chẳng hạn, nơi đường cong vừa đi lên rồi đi xuống chưa chắc là nơi cao nhất của cả phần đồ thị đang xét.
Cần nhớ: $f(a)$ là giá trị hàm tại $x=a$; đoạn $[a;b]$ nhận hai đầu mút, khoảng $(a;b)$ không nhận chúng.
GTLN–GTNN cần thỏa điều gì?
Cho hàm số $f$ xác định trên tập $D$.
- $M$ là **giá trị lớn nhất** (GTLN) nếu $f(x)\le M$ với mọi $x\in D$, và có ít nhất một điểm $x_0\in D$ mà $f(x_0)=M$.
- $m$ là **giá trị nhỏ nhất** (GTNN) nếu $f(x)\ge m$ với mọi $x\in D$, và có ít nhất một điểm $x_1\in D$ mà $f(x_1)=m$.
Ta viết $M=\max_{x\in D}f(x)$, $m=\min_{x\in D}f(x)$. Có thể đọc lần lượt là “giá trị lớn nhất” và “giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $D$”.
Có hai việc phải kiểm: **không có giá trị nào vượt qua mức đó**, và **hàm thực sự nhận mức đó**. Số $M$ là giá trị; $x_0$ là nơi đạt giá trị ấy. Hai số này không nhất thiết bằng nhau.
Ví dụ 1 — Giá trị và nơi đạt được
Tìm GTLN, GTNN của $f(x)=(x-1)^2+2$ trên $[0;3]$.
Với $0\le x\le3$, ta có $-1\le x-1\le2$, nên $0\le(x-1)^2\le4$. Vì vậy:
$$2\le f(x)\le6.$$
Giá trị $2$ đạt được khi $x=1$, còn giá trị $6$ đạt được khi $x=3$. Cả hai điểm đều thuộc đoạn đang xét. Do đó:
$$\min_{[0;3]}f=f(1)=2,\qquad \max_{[0;3]}f=f(3)=6.$$
Ở đây không cần đạo hàm vì tính chất bình phương đã cho phép so sánh trên cả đoạn. Nếu đề hỏi “hàm đạt GTLN tại đâu”, câu trả lời là $x=3$; nếu hỏi “GTLN bằng bao nhiêu”, câu trả lời là $6$.
Thử: giá trị nhỏ nhất
Với $g(x)=(x+2)^2-3$ trên $[-3;0]$, GTNN bằng bao nhiêu?
$-2$ là nơi đạt GTNN, chưa phải giá trị nhỏ nhất.
Đúng: giá trị $-3$ đạt được tại $x=-2$.
$0$ là đầu mút của đoạn, không phải GTNN.
$g(0)=1$ lớn hơn $g(-2)=-3$.
Lời giải
$g(x)\ge-3$ trên đoạn, và $g(-2)=-3$. Vậy GTNN là $-3$, chọn B.
Ví dụ 2 — Một mức không đạt được
Xét $h(x)=x$ trên khoảng $(0;2)$. Mọi giá trị đều nhỏ hơn $2$, nhưng $2$ không phải GTLN vì không có $x$ nào trong khoảng cho $h(x)=2$.
Thực ra hàm không có GTLN: với bất kỳ $x<2$ trong khoảng, số $(x+2)/2$ vẫn thuộc khoảng và lớn hơn $x$. Ta luôn tìm được một giá trị hàm lớn hơn.
Tương tự, không có GTNN vì với mỗi $x>0$, số $x/2$ vẫn thuộc khoảng và cho giá trị nhỏ hơn.
Nếu đổi tập đang xét thành $[0;2]$, hai đầu mút được nhận: GTNN là $0$, GTLN là $2$. Công thức không đổi, nhưng câu trả lời thay đổi theo tập đang xét.
Thử: đầu mút được nhận
Hàm $h(x)=x$ trên $(0;2]$ có GTLN và GTNN không?
Số $0$ không đạt được trên miền $(0;2]$, nên không phải GTNN.
Đầu phải $2$ thuộc miền nên hàm đạt GTLN bằng $2$; đầu trái $0$ lại bị loại.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Không có số dương nhỏ nhất trên khoảng này; với mỗi $x>0$ còn có $x/2$ nhỏ hơn.
Lời giải
GTLN là $2$, đạt tại $x=2$. Không có GTNN: $0$ không thuộc tập và với mỗi $x>0$ có thể chọn $x/2$ cho giá trị nhỏ hơn.
Cực trị và GTLN–GTNN khác nhau ở đâu?
Cực trị chỉ xét trong một vùng gần điểm đó; GTLN–GTNN xét trên toàn tập đề hỏi.
Ví dụ $p(x)=x^3-3x$ có $p'(x)=3(x+1)(x-1)$. Đạo hàm đổi từ dương sang âm qua $-1$, nên $p$ đạt cực đại tại $-1$, với $p(-1)=2$. Nhưng trên đoạn $[-2;3]$, ta có $p(3)=18>2$. Vậy giá trị cực đại $2$ không phải GTLN trên đoạn này.
Điểm ở đầu mút cũng có thể cho GTLN hoặc GTNN. Khi dùng quy tắc cực trị trong bài trước, ta xét điểm ở bên trong khoảng; không được vì vậy mà bỏ đầu mút khi tìm GTLN–GTNN.
Bài luyện 1
Tìm GTLN, GTNN của $u(x)=4-(x-2)^2$ trên $[0;4]$, kèm nơi đạt được.
Nơi đạt hai giá trị đã bị đảo: bình phương nhỏ nhất tại $x=2$ nên $u$ lớn nhất ở đó.
Giá trị $0$ còn đạt tại đầu mút $x=4$; phải nêu đủ nơi đạt.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Cần trừ bình phương khỏi $4$: miền giá trị của $u$ là $[0;4]$, không phải $[-4;0]$.
Lời giải
Trên đoạn, $0\le(x-2)^2\le4$, nên $0\le u(x)\le4$. GTLN là $4$ tại $x=2$; GTNN là $0$ tại cả $x=0$ và $x=4$.
Bài luyện 2
Với $v(x)=x^2$ trên $(0;1)$, có thể gọi $0$ là GTNN và $1$ là GTLN không? Giải thích.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
GTLN và GTNN phải là các giá trị đạt được; hai đầu $0,1$ không thuộc miền giá trị trên khoảng mở.
Giá trị $0$ cũng không đạt được vì $x=0$ bị loại.
Giá trị $1$ không đạt được vì $x=1$ bị loại.
Lời giải
Không. Cả $0$ và $1$ đều không đạt được. Với $0<x<1$, chọn $x/2$ cho bình phương nhỏ hơn và $(x+1)/2$ cho bình phương lớn hơn. Hàm không có GTLN, GTNN trên khoảng này.
Bài luyện 3
Biết một hàm số đạt cực đại tại $x=1$ và giá trị cực đại bằng $5$. Chỉ từ dữ kiện đó, có thể kết luận giá trị lớn nhất của hàm số trên $[0;4]$ là $5$ không?
Cực đại chỉ so sánh trong một lân cận; GTLN phải so sánh trên toàn đoạn.
Không có dữ kiện về giá trị tại hai đầu đoạn để khẳng định chúng lớn hơn $5$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Việc đạt $5$ trong đoạn chưa loại trừ khả năng hàm đạt giá trị lớn hơn ở nơi khác.
Lời giải
Chưa đủ. Cần so sánh với các giá trị trên toàn đoạn, kể cả hai đầu mút và các điểm cần xét khác. Cực đại tại 1 chỉ cho thông tin ở gần 1.
Những điều cần nhớ
GTLN–GTNN phải là giá trị **đạt được** và được so sánh trên **đúng tập đề cho**. Luôn phân biệt giá trị với nơi đạt được. Ở bài tiếp, ta dùng đạo hàm để tìm có hệ thống những giá trị cần so sánh.
Đang học