Ẩn nằm ở số mũ
Hàm số mũ có dạng $y=a^x$, với a>0,a≠1. Tập xác định là R; tập giá trị là $(0;+\infty)$. Đồ thị đi qua (0;1) và (1;a), luôn ở phía trên trục hoành.
Khi a>1, hàm đồng biến trên R. Khi 0<a<1, hàm nghịch biến trên R. Cả hai đều liên tục trên R và có trục hoành làm tiệm cận ngang ở một phía.
$2^x$ là hàm mũ cơ số 2; $x^2$ là hàm lũy thừa với số mũ cố định 2. Vị trí của x làm hai hàm có tính chất khác nhau.
Nhận cơ số từ điểm (1;a)
Một đồ thị hàm mũ tăng, đi qua (0;1) và (1;2). Tại x=1 ta có $a^1=a=2$, nên công thức là $y=2^x$.
Khi x lần lượt −1,0,1,2, các giá trị là 1/2,1,2,4. Về bên trái, $2^x$ tiến gần 0 nhưng luôn dương; đồ thị không cắt trục hoành.
Nhận chiều biến thiên
Hàm nào nghịch biến trên R?
3>1 nên hàm tăng.
e>1 nên hàm tăng.
Đúng: cơ số dương nhỏ hơn 1.
3/2>1 nên hàm tăng.
Lời giải
0<2/3<1 nên y=(2/3)^x nghịch biến.
Một phép dịch đồ thị đơn giản
Xét $y=2^{x-1}+3$. Hàm xác định với mọi x, luôn lớn hơn 3 vì $2^{x-1}>0$, và vẫn đồng biến.
Tại x=1, y=4. Khi x tiến về âm vô cực, phần $2^{x-1}$ tiến về 0 nên y tiến về 3; tiệm cận ngang là y=3.
Đây là đồ thị y=2^x dịch sang phải 1 đơn vị và lên trên 3 đơn vị. Vì có phần +3, không áp dụng trực tiếp điểm (0;1) của hàm mũ chưa dịch.
So sánh cùng cơ số
So sánh $A=(1/2)^2$ và $B=(1/2)^3$.
Đúng. Cơ số nằm giữa $0$ và $1$ nên số mũ tăng thì giá trị giảm.
Kết luận này phù hợp với cơ số lớn hơn $1$, không phải $1/2$.
Hai số mũ khác nhau cho hai giá trị khác nhau.
Có thể dùng tính nghịch biến để so sánh mà không tính từng giá trị.
Lời giải
Vì $0<1/2<1$, hàm số $y=(1/2)^x$ nghịch biến trên $\mathbb R$. Từ $2<3$ suy ra $(1/2)^2>(1/2)^3$. Chọn A.
Điểm đặc trưng
Đồ thị $y=a^x$ với $a>0$, $a\ne1$ đi qua $(1;5)$. Giá trị của $a$ và tung độ tại $x=0$ lần lượt là
$a^0=1$ với $a>0$, không phải $0$.
Thay $x=1$ phải được $a=5$.
Đúng. $a=5$ và mọi cơ số dương có lũy thừa bậc $0$ bằng $1$.
Tại $x=0$, phải tính $5^0$, không giữ nguyên $5$.
Lời giải
Đồ thị qua $(1;5)$ nên $a^1=5$, tức $a=5$. Tại $x=0$, ta có $y=5^0=1$. Chọn C.
Tập giá trị
Tập giá trị của hàm số $y=3^x-2$ là
Đúng. Trừ $2$ làm tập giá trị dịch xuống $2$ đơn vị.
$-2$ không thuộc tập giá trị vì $3^x>0$ với mọi $x$.
Đây là tập giá trị của $3^x$, chưa trừ $2$.
Hàm luôn lớn hơn $-2$ nên không nhận mọi số thực.
Lời giải
Khi $x$ chạy trên $\mathbb R$, $3^x$ nhận mọi giá trị trong $(0;+\infty)$. Trừ $2$, ta được tập giá trị $(-2;+\infty)$. Giá trị $-2$ không được nhận vì $3^x$ không bằng $0$. Chọn A.
Đồ thị có chạm trục không?
Phương trình $(1/3)^x=0$ có bao nhiêu nghiệm thực?
Đúng. Lũy thừa với cơ số dương luôn dương.
Tại $x=0$, vế trái bằng $1$.
Tại $x=3$, vế trái bằng $1/27$.
Dù $x$ lớn đến đâu, giá trị vẫn dương.
Lời giải
Với mọi $x\in\mathbb R$, lũy thừa có cơ số dương $(1/3)^x$ luôn dương. Vì vậy phương trình vô nghiệm. Giá trị tiến gần $0$ không có nghĩa là bằng $0$ tại một số thực hữu hạn. Chọn A.
Điều cần nhớ
Với hàm mũ cơ bản, kiểm cơ số để biết tăng hay giảm, kiểm điểm (1;a) để nhận a, và nhớ giá trị luôn dương.
Đang học