Từ dấu hiệu đến tính chất
Ở bài trước, ta đã dùng dấu hiệu: một mặt chứa hai đường cắt nhau cùng song song với mặt kia thì hai mặt song song.
Qua một điểm ngoài mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. Nếu một mặt phẳng thứ ba cắt một trong hai mặt song song thì nó cắt cả mặt còn lại; hai giao tuyến song song với nhau.
Khi $d\parallel(P)$ và mặt $(Q)$ chứa $d$ cắt $(P)$ theo $a$, ta cũng có $a\parallel d$. Đây là cách tìm phương của một đường cắt trên mặt phẳng.
Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một mặt
Cho hình chóp $S.ABCD$. Các điểm $M,N,P,Q$ lần lượt nằm trên $SA,SB,SC,SD$, cùng cách đỉnh theo tỉ số $SM/SA=SN/SB=SP/SC=SQ/SD=1/3$. Chứng minh bốn điểm đó đồng phẳng.
Theo Thalès trong các tam giác $SAB,SBC$, có $MN\parallel AB$, $NP\parallel BC$. Hai đường $MN,NP$ cắt nhau và đều song song với đáy, nên $(MNP)\parallel(ABCD)$. Tương tự, từ $NP\parallel BC$, $PQ\parallel CD$, suy ra $(NPQ)\parallel(ABCD)$.
Hai mặt này cùng đi qua $N$ và cùng song song với đáy nên trùng nhau. Do đó $M,N,P,Q$ đồng phẳng.
Giao tuyến của mặt cắt
Hai mặt $(P),(Q)$ song song. Mặt $(R)$ cắt chúng theo $a,b$. Nếu biết một điểm $M$ trên $b$, ta dựng $b$ như thế nào khi đã có $a$?
Giao tuyến của cùng một mặt phẳng với hai mặt song song phải song song với nhau.
Điểm $M$ nằm trên giao tuyến $b$ trong $(R)$; hướng của $b$ bị xác định bởi $a$.
Hai giao tuyến nằm trong hai mặt phẳng song song khác nhau nên không thể là cùng một đường.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Lời giải
Qua $M$ dựng đường song song với $a$. Theo tính chất hai mặt phẳng song song, đó chính là $b$.
Định lí Thalès trong không gian
Ba mặt phẳng đôi một song song cắt hai đường thẳng tại các bộ điểm tương ứng $A,B,C$ và $A',B',C'$. Các đoạn tương ứng tỉ lệ:
$$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}.$$
Ta cũng có thể viết $AB/BC=A'B'/B'C'$. Hai đường cắt không nhất thiết nằm trong cùng một mặt phẳng. Khi thay số, cần ghép đúng các đoạn nằm giữa cùng hai mặt phẳng.
Tính độ dài một đoạn tương ứng
Trong hình trên, cho $AB=6$, $BC=9$, $A'B'=4$. Tính $B'C'$.
Từ $AB/BC=A'B'/B'C'$, ta được $6/9=4/B'C'$, nên $B'C'=6$. Sau đó $A'C'=4+6=10$ nếu $B'$ nằm giữa $A',C'$ như hình.
Không đặt $AB/B'C'$ bằng $BC/A'B'$: cách ghép đó đã đảo hai khoảng tương ứng.
Vận dụng định lí Thalès trong không gian
Ba mặt song song cắt hai đường theo thứ tự $A,B,C$ và $D,E,F$. Biết $AB=5$, $BC=10$, $DE=3$. Tính $EF$.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Từ $5/10=3/EF$, tích chéo cho $5EF=30$, nên $EF=6$.
Định lí Thalès cho tỉ số các đoạn tương ứng, không cho quan hệ cộng như vậy.
Còn phải tính theo đoạn tương ứng $DE=3$: $EF=3\cdot10/5$.
Lời giải
$AB/BC=DE/EF$, nên $5/10=3/EF$. Suy ra $EF=6$.
Hình lăng trụ và hình hộp
Lấy một đa giác trong một mặt phẳng. Qua các đỉnh, kẻ những đường song song cắt một mặt phẳng song song thứ hai. Hai đa giác và các mặt bên tạo thành một hình lăng trụ.
Hai mặt đáy song song; các mặt bên là hình bình hành; các cạnh bên song song và bằng nhau. Ta gọi tên lăng trụ theo đa giác đáy, chẳng hạn lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$.
Lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là **hình hộp**. Các mặt đối diện của hình hộp song song. Bốn đường chéo của hình hộp cùng đi qua trung điểm của mỗi đường.
Một lăng trụ nói chung chưa phải lăng trụ đứng; không tự thêm góc vuông giữa cạnh bên và đáy.
Dùng hình bình hành trên mặt bên
Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,A'B'$. Chứng minh $MN\parallel AA'$ và $MN=AA'$.
Mặt bên $ABB'A'$ là hình bình hành. Ta có $AM=A'N$ và $AM\parallel A'N$ do hai đoạn nằm trên hai cạnh đối tương ứng. Suy ra $AMNA'$ là hình bình hành. Vì thế $MN\parallel AA'$ và $MN=AA'$.
Lập luận chỉ dùng hình bình hành, nên áp dụng được cả khi lăng trụ nghiêng.
Phân biệt hình hộp và hình hộp chữ nhật
Một hình hộp có bắt buộc cả sáu mặt là hình chữ nhật không?
Hình hộp tổng quát chỉ yêu cầu các mặt là hình bình hành.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Song song của các mặt đối không suy ra các góc trong mỗi mặt là góc vuông.
Hình bình hành không nhất thiết là hình thoi; hình hộp chữ nhật là một trường hợp riêng.
Lời giải
Không. Các mặt của hình hộp là hình bình hành; cần thêm điều kiện vuông góc mới kết luận là hình hộp chữ nhật.
Điều cần nhớ
Hai mặt song song cho các giao tuyến song song. Ba mặt song song cho các đoạn tương ứng tỉ lệ. Trong lăng trụ và hình hộp, khai thác hình bình hành trước khi thêm bất cứ điều kiện góc vuông nào.
Đang học