Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

Hai cạnh ở hai vị trí khác nhau của một hình hộp không nhất thiết cắt nhau. Để so sánh phương của chúng, ta kẻ những đường song song đi qua cùng một điểm, rồi xét góc giữa hai đường mới.

Cách xác định góc

Góc giữa hai đường $a,b$ là góc giữa hai đường đi qua cùng một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với $a,b$. Ta chọn góc từ $0^\circ$ đến $90^\circ$. Có thể giữ một đường và chuyển đường kia qua một điểm trên nó. Sau khi chuyển, hãy chỉ ra quan hệ song song làm căn cứ. Nếu hai tia đang xét tạo góc $120^\circ$, góc giữa hai đường là $60^\circ$. Hai đường vuông góc khi góc giữa chúng bằng $90^\circ$; trong không gian chúng có thể chéo nhau.

Chuyển một đường chéo về đáy

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính góc giữa $AB$ và $B'D'$.

Đường chéo B′D′ song song BD; tính góc với AB bằng tam giác ABD trong đáy.

Mặt $BB'D'D$ là hình chữ nhật, nên $B'D'\parallel BD$. Vì vậy góc cần tìm bằng góc giữa $AB$ và $BD$. Trong hình vuông $ABCD$, tam giác $ABD$ vuông cân tại $A$, nên góc $ABD$ bằng $45^\circ$. Đây là góc nhọn giữa hai đường $AB,BD$. Kết quả là $45^\circ$.

Chuyển một cặp đường khác

Trong cùng hình lập phương, tính góc giữa $AA\prime$ và $CD$.

AGóc bằng $0^\circ$ vì $AA'\parallel CD$.BVì $CD\parallel AB$, góc cần tìm bằng góc giữa $AA\prime$ và $AB$. Mặt $ABB\prime A\prime$ là hình vuông nên $AA\prime \perp AB$. Vậy góc bằng $90^\circ$, dù $AA\prime$ và $CD$ không cắt nhau.CGóc bằng $45^\circ$ vì hai đường không cắt nhau.DKhông xác định được góc vì hai đường chéo nhau.

Khi tam giác không vuông

Sau khi chuyển đường, ta cần góc giữa $OP$ và $OQ$, với $OP=3$, $OQ=4$, $PQ=\sqrt{13}$. Trong tam giác $OPQ$, định lí cosin cho $$\cos\widehat{POQ}=\frac{3^2+4^2-13}{2\cdot3\cdot4}=\frac12.$$ Do đó $\widehat{POQ}=60^\circ$. Góc này không tù, nên cũng là góc giữa hai đường $OP,OQ$. Nếu tính được góc tại $O$ là góc tù, phải lấy góc bù để trả lời góc giữa hai đường.

Phân biệt góc tia và góc đường

Hai tia $Ox,Oy$ tạo góc $135^\circ$. Góc giữa hai đường chứa hai tia là bao nhiêu?

AHai đường tạo hai góc bù $135^\circ$ và $45^\circ$. Góc giữa hai đường lấy góc không tù, nên bằng $45^\circ$.BGóc giữa hai đường là $135^\circ$ vì giữ nguyên góc giữa hai tia.CGóc giữa hai đường là $90^\circ$ vì hai tia tạo góc tù.DGóc giữa hai đường là $180^\circ-45^\circ=135^\circ$.

Các bước tính góc giữa hai đường thẳng

Chọn hai đường cùng đi qua một điểm, giải thích vì sao được thay đường, rồi chỉ ra tam giác chứa góc. Kết quả góc giữa hai đường luôn không quá 90°.