Muốn chứng minh vuông góc, ta cần những đường nào?
Một cạnh trông thẳng đứng trên hình chưa chắc vuông góc với đáy. Ta cần giả thiết hoặc một dấu hiệu để chứng minh. Bài này đi từ dấu hiệu đường vuông góc mặt phẳng đến cách dựng hình chiếu.
Dấu hiệu thường dùng
Đường $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ khi $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$.
Ta không cần kiểm tra từng đường. Nếu $a,b$ là **hai đường cắt nhau** trong $(P)$ và $d\perp a$, $d\perp b$, thì $d\perp(P)$.
Ngược lại, khi đã có $d\perp(P)$, ta được dùng $d\perp c$ với bất kì đường $c\subset(P)$, kể cả khi $d,c$ không cắt nhau. Góc giữa hai đường trong không gian đã được định nghĩa ở bài trước.
Dùng mặt phẳng để chứng minh hai đường vuông góc
Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA\perp(ABCD)$. Chứng minh $BC\perp SB$.
Trong đáy hình chữ nhật, $BC\perp AB$. Từ $SA\perp(ABCD)$, ta có $BC\perp SA$. Hai đường $AB,SA$ cắt nhau tại $A$ và thuộc $(SAB)$, nên $BC\perp(SAB)$.
Vì $SB\subset(SAB)$, suy ra $BC\perp SB$. Ta chọn mặt $(SAB)$ vì nó chứa đường cần chứng minh vuông góc, đồng thời chứa hai đường $AB,SA$ đã có quan hệ vuông góc với $BC$.
Chứng minh với cạnh bên còn lại
Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA\perp(ABCD)$. Để chứng minh $AB\perp SD$, có thể chứng minh $AB$ vuông góc với cặp đường cắt nhau nào?
Đúng. Hai đường $AD,SA$ cắt nhau và cùng thuộc mặt phẳng chứa $SD$.
$AB$ song song với $CD$, không vuông góc với $CD$.
Chưa có căn cứ cho $AB\perp SB$.
Chưa có căn cứ cho $AB\perp SC$.
Lời giải
Đáy là hình chữ nhật nên $AB\perp AD$. Do $SA\perp(ABCD)$, suy ra $AB\perp SA$. Hai đường $AD,SA$ cắt nhau tại $A$ và thuộc $(SAD)$, nên $AB\perp(SAD)$. Vì $SD\subset(SAD)$, suy ra $AB\perp SD$. Chọn A.
Hình chiếu vuông góc
Với điểm $M$ ngoài $(P)$, kẻ $MH\perp(P)$ tại $H$. Điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $(P)$, còn $MH$ là đoạn vuông góc từ $M$ đến mặt. Điểm đã nằm trong mặt thì có hình chiếu là chính nó.
Để chiếu một đoạn thẳng, tìm hình chiếu của hai đầu mút. Nếu hai hình chiếu phân biệt, nối chúng lại. Nếu đường chứa đoạn vuông góc mặt thì cả đoạn chiếu thành một điểm.
Xác định hình chiếu trước khi tính
Trong hình chóp $S.ABCD$ có $SA\perp(ABCD)$, hình chiếu của $S$ lên đáy là $A$, còn $B$ đã thuộc đáy nên chiếu thành $B$. Vì thế hình chiếu của đoạn $SB$ lên đáy là $AB$.
Tương tự, đoạn $SC$ có hình chiếu là $AC$. Ta không chọn $BC$ chỉ vì nó cùng đi qua $C$: đầu mút còn lại phải là hình chiếu của $S$.
Xác định hai hình chiếu
Cho hình chóp $S.ABCD$ với $SA\perp(ABCD)$. Hình chiếu vuông góc của $SD$ và $SA$ lên đáy lần lượt là
Đường chiếu phải kết thúc trên mặt đáy.
Đã đổi chỗ hai hình chiếu.
Đúng. Chiếu từng đầu mút của mỗi đoạn.
Hai đầu mút của $SA$ cùng chiếu thành $A$, không tạo đoạn $AD$.
Lời giải
$S$ chiếu thành $A$, còn $D$ nằm trên đáy nên chiếu thành chính $D$. Vì vậy $SD$ chiếu thành đoạn $AD$. Hai đầu mút $S,A$ của $SA$ đều chiếu thành $A$, nên hình chiếu của $SA$ chỉ là điểm $A$. Chọn C.
Hai mặt phẳng vuông góc giúp dựng đường cao
Hai mặt phẳng vuông góc khi góc giữa chúng bằng $90^\circ$. Bài về góc hai mặt sẽ hướng dẫn cách dựng góc này. Trước hết, ta dùng hai tính chất:
- Nếu một mặt chứa một đường vuông góc với mặt kia, thì hai mặt vuông góc.
- Nếu $(P)\perp(Q)$ và giao tuyến là $a$, thì đường nằm trong $(P)$, vuông góc với $a$, sẽ vuông góc với $(Q)$.
Tính chất thứ hai cho ta cách dựng: làm việc trong $(P)$, hạ đường vuông góc xuống giao tuyến $a$. Không phải mọi đường trong $(P)$ đều vuông góc với $(Q)$.
Hạ đường cao trong mặt bên
Cho hình chóp $S.ABC$ có $(SAB)\perp(ABC)$. Trong tam giác $SAB$, kẻ $SH\perp AB$ tại $H$. Chứng minh $SH$ là đường cao của hình chóp.
Hai mặt $(SAB)$ và $(ABC)$ có giao tuyến $AB$. Đường $SH$ nằm trong $(SAB)$ và vuông góc với giao tuyến ấy. Theo tính chất hai mặt vuông góc, $SH\perp(ABC)$.
Vì $H\in AB\subset(ABC)$, $SH$ nối đỉnh $S$ với chân vuông góc trên đáy, nên đúng là đường cao. Điểm $H$ có thể thuộc phần kéo dài của cạnh $AB$ nếu tam giác $SAB$ có góc tù ở đáy.
Chọn đúng điều kiện
Cho hình chóp $S.ABC$ với $(SAB)\perp(ABC)$. Điều kiện nào đủ để $SA$ là đường cao?
Trong hình chóp không suy biến, $S,A,B$ không thẳng hàng nên $SA$ không song song với $AB$.
Đúng. Dùng đường vuông góc với giao tuyến trong mặt bên.
Điều kiện này làm $SB$ vuông góc với đáy, không bảo đảm $SA$ là đường cao.
Tam giác $SAB$ cân chưa buộc $SA$ vuông góc với $AB$.
Lời giải
Hai mặt phẳng có giao tuyến $AB$. Nếu $SA\perp AB$ thì $SA$ nằm trong $(SAB)$ và vuông góc với giao tuyến. Theo tính chất hai mặt phẳng vuông góc, $SA\perp(ABC)$. Vì $A$ thuộc đáy, $SA$ là đường cao. Chọn B.
Những điều cần nhớ
Để chứng minh đường vuông góc mặt, tìm hai đường cắt nhau trong mặt. Để tìm hình chiếu của đoạn, chiếu từng đầu mút. Khi đã biết hai mặt vuông góc, có thể dựng đường cao trong một mặt bằng cách hạ vuông góc xuống giao tuyến.
Đang học