Cần nhìn góc theo một mặt cắt thích hợp
Hai mặt bên hoặc mặt bên với mặt đáy gặp nhau dọc theo một cạnh. Để thấy độ mở giữa chúng, ta dựng trong mỗi mặt một đường vuông góc với cạnh chung tại cùng một điểm. Góc giữa hai đường đó cho góc giữa hai mặt.
Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng được định nghĩa là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với chúng, nên nằm từ $0^\circ$ đến $90^\circ$.
Với hai mặt cắt nhau theo giao tuyến $d$, ta có cách dựng thường dùng: chọn $H\in d$, kẻ $Ha$ trong mặt thứ nhất và $Hb$ trong mặt thứ hai, cùng vuông góc với $d$. **Góc không tù** giữa $Ha,Hb$ là góc giữa hai mặt.
Cần chứng minh cả hai quan hệ vuông góc với $d$. Hai đường chỉ nằm trong hai mặt thì chưa đủ.
Góc mặt bên với đáy của chóp đều
Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, đáy là hình vuông cạnh $6$, tâm $O$, $SO=3$. Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Tính góc giữa $(SAB)$ và $(ABCD)$.
Giao tuyến hai mặt là $AB$. Trong đáy hình vuông, $OH\perp AB$ và $OH=3$. Tam giác $SAB$ cân tại $S$ nên trung tuyến $SH$ cũng vuông góc $AB$.
Vậy góc giữa hai mặt là góc không tù giữa $SH$ và $OH$. Do chóp đều có $SO\perp(ABCD)$, tam giác $SOH$ vuông tại $O$. Hai cạnh $SO=OH=3$ nên $\widehat{SHO}=45^\circ$. Góc cần tìm bằng $45^\circ$.
Thay chiều cao
Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $8$ và chiều cao $4\sqrt3$. Góc giữa một mặt bên và đáy bằng
Kết quả này có thể xuất hiện khi đảo tỉ số hai cạnh trong công thức tan.
Hai cạnh góc vuông không bằng nhau: $SO=4\sqrt3$, $OH=4$.
Mặt bên không vuông góc với đáy; cần xét góc $SHO$.
Đúng. Tan của góc cần tìm bằng $\sqrt3$.
Lời giải
Gọi $O$ là tâm đáy, $H$ là trung điểm một cạnh đáy $AB$. Có $OH=4$, $SH\perp AB$ và $OH\perp AB$. Vì vậy góc giữa mặt bên $(SAB)$ và đáy là $\widehat{SHO}$. Tam giác $SOH$ vuông tại $O$, nên $\tan\widehat{SHO}=SO/OH=\sqrt3$. Suy ra góc cần tìm bằng $60^\circ$. Chọn D.
Góc nhị diện giữ thông tin về hai phía
Một góc nhị diện gồm hai nửa mặt phẳng có chung bờ $d$. Chọn $H\in d$; trong mỗi nửa mặt, kẻ một tia xuất phát từ $H$ và vuông góc với $d$. Góc giữa hai tia là **góc phẳng của góc nhị diện**. Số đo góc nhị diện nằm từ $0^\circ$ đến $180^\circ$.
Khác biệt nằm ở các nửa mặt đã chọn: góc hai mặt phẳng luôn lấy góc không tù, còn góc nhị diện có thể là góc tù. Với góc nhị diện $[S,AB,O]$, hai nửa mặt là phía chứa $S$ và phía chứa $O$, có chung bờ $AB$.
Cùng hai mặt nhưng chọn nửa mặt khác
Trong ví dụ chóp đều cạnh đáy $6$, $SO=3$, góc nhị diện $[S,AB,O]$ có góc phẳng $\widehat{SHO}=45^\circ$.
Lấy $K$ trên tia đối của tia $HO$. Điểm $K$ nằm ở nửa mặt đáy phía bên kia $AB$. Khi xét $[S,AB,K]$, góc phẳng là $\widehat{SHK}=180^\circ-45^\circ=135^\circ$.
Hai mặt phẳng vẫn là $(SAB)$ và $(ABCD)$, nên góc giữa chúng vẫn bằng $45^\circ$. Số $135^\circ$ trả lời cho góc nhị diện được chỉ định, không phải góc giữa hai mặt phẳng.
Phân biệt hai kết quả
Một góc nhị diện có góc phẳng bằng $120^\circ$. Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai nửa mặt ấy bằng
Góc giữa hai mặt phẳng không vượt quá $90^\circ$.
Đúng. Lấy góc không tù bù với $120^\circ$.
Hai góc cần xét bù nhau, không phụ nhau.
Không có dữ kiện hai mặt phẳng vuông góc.
Lời giải
Góc giữa hai mặt phẳng là góc không tù giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến. Hai tia tạo góc phẳng $120^\circ$ xác định hai đường thẳng có góc không tù bằng $180^\circ-120^\circ=60^\circ$. Chọn B.
Đọc rõ đề hỏi loại góc nào
Với hai mặt cắt nhau, dựng hai đường cùng vuông góc giao tuyến. Nếu đề hỏi góc hai mặt, chọn góc không tù; nếu đề chỉ rõ góc nhị diện, giữ đúng hai tia nằm trong hai nửa mặt đã cho.
Đang học