Các giới hạn cần dùng
Đường tiệm cận mô tả cách đồ thị tiến gần một đường thẳng. Để hiểu chính xác điều đó, ta cần đọc được ký hiệu giới hạn và tính một vài giới hạn đơn giản. Bài này nhắc đúng phần sẽ dùng; chưa cần học mọi kỹ thuật tính giới hạn.
Đọc ký hiệu trước khi tính
$x\to a^-$ nghĩa là $x$ tiến gần $a$ từ phía nhỏ hơn $a$; $x\to a^+$ là từ phía lớn hơn. Khi xét giới hạn tại $a$, ta dùng những giá trị gần $a$, không bắt buộc hàm phải có nghĩa ngay tại $a$.
$\lim_{x\to a^+}f(x)=+\infty$ nghĩa là giá trị hàm lớn hơn mọi mức dương cho trước khi $x$ đủ gần $a$ từ bên phải. Vô cực không phải một số để thay vào công thức.
$x\to+\infty$ và $x\to-\infty$ nói về hai phía rất xa trên trục số. Khi đó $1/x\to0$, $1/x^2\to0$. Tổng, tích và thương của các giới hạn hữu hạn được tính như phép toán thông thường nếu mẫu của thương có giới hạn khác $0$.
Ví dụ 1 — Hai phía cho hai dấu khác nhau
Xét $f(x)=1/(x-2)$, với $x\ne2$.
Khi $x\to2^-$, mẫu âm và tiến gần $0$: chẳng hạn các mẫu $-0{,}1$ và $-0{,}01$ cho giá trị $-10$ và $-100$. Vì tử luôn dương còn độ lớn mẫu nhỏ tùy ý:
$$\lim_{x\to2^-}\frac1{x-2}=-\infty.$$
Khi $x\to2^+$, mẫu dương và tiến về $0$, nên giới hạn là $+\infty$. Bảng số chỉ minh họa; lý do kết luận nằm ở dấu và độ lớn của mẫu.
Với $1/(x-2)^2$, mẫu luôn dương ở cả hai phía, nên cả hai giới hạn đều là $+\infty$.
Thử: xét dấu của mẫu
$\lim_{x\to3^-}2/(x-3)$ bằng gì?
Dấu mẫu ở phía trái là âm, không phải dương.
Đúng: tử dương chia mẫu âm rất nhỏ cho giá trị âm có độ lớn rất lớn.
Nghịch đảo của mẫu tiến về 0 không tiến về 0.
Giới hạn không bằng riêng tử số.
Lời giải
Mẫu tiến về 0 từ phía âm, tử bằng 2>0, nên giới hạn là $-\infty$. Chọn B.
Ví dụ 2 — Chia cho lũy thừa cao nhất
Tính giới hạn của $g(x)=(3x-4)/(2x+5)$ khi $x\to+\infty$.
Chia tử và mẫu cho $x$:
$$g(x)=\frac{3-4/x}{2+5/x}.$$
Vì $4/x\to0$, $5/x\to0$, mẫu tiến về $2\ne0$, nên giới hạn bằng $3/2$. Lập luận tương tự cho $x\to-\infty$.
Khi gặp căn, nhớ $\sqrt{x^2}=|x|$. Ví dụ với $x<0$, $\sqrt{x^2+1}/x=-\sqrt{1+1/x^2}$, nên giới hạn ở $-\infty$ bằng $-1$, không phải $1$.
Thử: tử có bậc thấp hơn
Tính $\lim_{x\to+\infty}(x+1)/(x^2+2)$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Khi mẫu tăng không giới hạn còn tử tiến tới $1$, thương tiến tới $0$, không phải $1$.
Dạng $\infty/\infty$ chưa cho kết quả; bậc mẫu lớn hơn bậc tử nên thương tiến tới $0$.
Hai đa thức không cùng bậc; khi bậc mẫu lớn hơn, giới hạn bằng $0$.
Lời giải
Chia cả tử và mẫu cho x²: $(1/x+1/x^2)/(1+2/x^2)\to0/1=0$.
Nếu thay vào gặp 0/0
Ký hiệu $0/0$ không phải kết quả giới hạn. Ta biến đổi trước. Với $x\ne1$:
$$\frac{x^2-1}{x-1}=x+1.$$
Vì vậy giới hạn khi $x\to1$ bằng $2$, dù công thức ban đầu không xác định tại $1$. Khi rút gọn, vẫn giữ điều kiện $x\ne1$. Đây là lý do không thể cứ thấy mẫu bằng 0 là kết luận hàm tiến ra vô cực.
Bài luyện 1
Tính hai giới hạn một phía tại −1 của $u(x)=-3/(x+1)$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Dấu của mẫu khác nhau ở hai phía của $-1$, nên hai giới hạn trái dấu.
Dấu đã bị đảo: bên trái mẫu âm nên thương dương; bên phải mẫu dương nên thương âm.
Một số khác $0$ chia cho một lượng tiến về $0$ có độ lớn tăng vô hạn, không tiến về $0$.
Lời giải
Phía trái: tử âm/mẫu âm tiến về 0 nên +∞. Phía phải: tử âm/mẫu dương tiến về 0 nên −∞.
Bài luyện 2
Tính giới hạn của $(2x^2+1)/(x^2-3)$ ở cả hai phía vô cực.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Ở vô cực phải so các hệ số của số hạng bậc cao nhất, không phải hệ số tự do.
Cả tử và mẫu có bậc chẵn; sau khi chia cho $x^2$, hai phía đều cho cùng giới hạn $2$.
Hai đa thức cùng bậc nên thương tiến tới tỉ số hệ số đầu là $2$, hữu hạn.
Lời giải
Chia cho x² được $(2+1/x^2)/(1-3/x^2)\to2$. Cả hai giới hạn bằng 2.
Bài luyện 3
Tính $\lim_{x\to2}(x^2-4)/(x-2)$. Có được nói hàm ban đầu nhận giá trị 4 tại x=2 không?
Dạng $0/0$ là dạng chưa xác định; phải rút gọn, đồng thời hàm gốc vẫn không xác định tại $2$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Giới hạn hữu hạn không tự bổ sung giá trị cho hàm tại điểm bị loại.
Giá trị tại điểm và giới hạn là hai khái niệm khác nhau; sau rút gọn, giới hạn bằng $4$.
Lời giải
Với x≠2, rút gọn thành x+2 nên giới hạn bằng 4. Hàm ban đầu không xác định tại 2, do đó không được gán giá trị tại 2 chỉ từ giới hạn.
Những điều cần nhớ
Đọc đúng phía tiến đến, xét dấu khi mẫu về 0, chia lũy thừa khi xét vô cực. $0/0$ cần biến đổi; giới hạn khác với giá trị ngay tại điểm.
Đang học