Khi đi xa, giá trị hàm tiến gần mức nào?
Với $f(x)=2+7/(x-3)$, số hạng $7/(x-3)$ tiến về 0 khi x đi xa về hai phía. Vì vậy giá trị hàm tiến gần 2. Đường ngang y=2 diễn tả mức đó trên đồ thị.
Định nghĩa và cách làm
Đường $y=L$ là tiệm cận ngang của đồ thị $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong hai giới hạn $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ hoặc $\lim_{x\to-\infty}f(x)$ bằng số hữu hạn $L$.
Tính riêng từng phía nếu biểu thức có căn hoặc giá trị tuyệt đối. Hai phía có thể cho hai đường ngang khác nhau. Viết đường ngang dưới dạng **y bằng hằng số**, không viết x bằng hằng số.
Ví dụ 1 — Phân thức cùng bậc
Tìm tiệm cận ngang của $f(x)=(2x+1)/(x-3)$.
Ta có $f(x)=2+7/(x-3)$, x≠3. Ở cả hai phía vô cực, phần phân thức tiến về 0, nên giới hạn bằng 2. Tiệm cận ngang là y=2.
Trên hình, hai nhánh tiến gần đường nét đứt ngang khi đi xa. Hình chỉ thể hiện một phần đồ thị; giới hạn từ công thức mới cho kết luận ở vô cực.
Thử: lấy đúng tỉ số
Tiệm cận ngang của $g(x)=(3x-4)/(2x+5)$ là đường nào?
Tỉ số cần lấy là hệ số ở tử chia hệ số ở mẫu.
Đúng: đường ngang y=3/2.
Đây là đường đứng, không phải đường ngang.
−4/5 là g(0), không phải giới hạn tại vô cực.
Lời giải
$g(x)=(3-4/x)/(2+5/x)\to3/2$ ở cả hai phía vô cực. Chọn B.
Ví dụ 2 — Hai tiệm cận ngang
Xét $h(x)=\sqrt{x^2+4}/x$, x≠0. Vì $\sqrt{x^2}=|x|$:
- Khi x>0, $h(x)=\sqrt{1+4/x^2}\to1$ khi x→+∞.
- Khi x<0, $h(x)=-\sqrt{1+4/x^2}\to-1$ khi x→−∞.
Vậy có hai tiệm cận ngang: y=1 ở phía phải và y=−1 ở phía trái. Không dùng cùng dấu căn cho cả hai phía.
Thử: tiệm cận là trục hoành
Tìm tiệm cận ngang của $u(x)=(x+1)/(x^2+2)$.
Tử bậc nhất, mẫu bậc hai; bậc mẫu lớn hơn nên giới hạn bằng $0$.
Tiệm cận ngang có dạng $y=L$; $x=0$ là một đường thẳng đứng.
Sau khi so bậc hoặc chia cho $x^2$, thương tiến tới giới hạn hữu hạn $0$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
Chia tử và mẫu cho x²: $(1/x+1/x^2)/(1+2/x^2)\to0$ ở cả hai phía. Tiệm cận ngang là y=0, chính là trục hoành.
Có thể cắt đường tiệm cận không?
Có. Hàm $u(x)=(x+1)/(x^2+2)$ ở câu vừa làm có u(−1)=0, nên đồ thị cắt tiệm cận ngang y=0 tại (−1;0). Định nghĩa nói về hành vi ở vô cực, không cấm đồ thị gặp đường ấy tại một điểm hữu hạn.
Mẹo so bậc chỉ áp dụng trực tiếp cho phân thức đa thức: bậc tử thấp hơn thì giới hạn 0; cùng bậc thì lấy tỉ số hệ số cao nhất. Khi bậc tử cao hơn, phải xét tiếp, không tự kết luận có tiệm cận ngang.
Bài luyện 1
Tìm tiệm cận ngang của $(5x^2-1)/(2x^2+x+3)$.
Với hai đa thức cùng bậc, phải lấy tỉ số hai hệ số của $x^2$, tức $5/2$.
Đường ngang phải có phương trình $y=5/2$, không phải $x=5/2$.
Các lũy thừa bậc hai cho cùng tỉ số hệ số đầu ở cả hai phía; không xuất hiện dấu âm.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
Chia cho x², giới hạn hai phía bằng 5/2; tiệm cận ngang y=5/2.
Bài luyện 2
$f(x)=x^2+1$ có tiệm cận ngang không?
Số hạng $x^2$ làm hàm tăng không giới hạn; hằng số tự do không quyết định tiệm cận ở vô cực.
Tiệm cận ngang phải là đường $y=L$ với $L$ hữu hạn; $+\infty$ không phải một đường thẳng.
Không được tự chia riêng một số hạng; chính $x^2+1$ tiến tới $+\infty$.
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Lời giải
Không. Giá trị tiến về +∞ ở cả hai phía, không có giới hạn hữu hạn L để cho đường ngang y=L.
Bài luyện 3
Biết $\lim_{x\to+\infty}f(x)=3$ và $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-2$. Nêu các tiệm cận ngang. Có suy ra f(0)=3 không?
Phương án dùng đúng dữ kiện, điều kiện và lập luận.
Phải xét cả hai phía vô cực; phía âm cho thêm tiệm cận $y=-2$.
Các giới hạn khi $x$ ra vô cực cho tiệm cận ngang $y=L$, không phải đường đứng $x=L$.
Giới hạn ở vô cực không xác định giá trị hàm tại một điểm hữu hạn.
Lời giải
Có y=3 và y=−2. Hai giới hạn không xác định f(0), nên không suy ra f(0)=3.
Những điều cần nhớ
Tiệm cận ngang đến từ giới hạn hữu hạn khi x đi ra vô cực. Có thể chỉ cần một phía; có thể có hai đường ngang khác nhau. Đường tiệm cận vẫn có thể cắt đồ thị.
Đang học