Giải phương trình tan và cot

Một họ nghiệm cách nhau π

Với mọi m thực, tanx=m có nghiệm. Nếu tanα=m thì nghiệm là x=α+kπ. Tương tự, nếu cotα=m thì cotx=m có nghiệm x=α+kπ. Trong bài này k luôn là số nguyên. Nếu hai vế là tan u và tan v, trước hết chúng đều phải xác định; khi đó tan u=tan v tương đương u=v+kπ. Cot xử lí tương tự. Chu kì π khác với chu kì 2π của sin, cos. Nghiệm cơ bản của tan hoặc cot chỉ cần một họ; thêm dấu ± tùy ý có thể sinh nghiệm sai.

Góc có hệ số và phần dịch

Giải tan(2x−π/4)=1. Vì tan(π/4)=1, ta có $2x-\pi/4=\pi/4+k\pi$. Suy ra $x=\pi/4+k\pi/2$. Các góc 2x−π/4 thu được là π/4+kπ, đều làm tan xác định. Vậy nhận cả họ nghiệm trên.

Nghiệm cotx=0

Cotx=0 khi

A$x=k\pi$B$x=\pi/2+k\pi$C$x=2k\pi$D$x=\pi/4+k\pi$

Hai vế đều chứa tan

Giải tan2x=tanx. Điều kiện cos2x≠0 và cosx≠0. Khi đó 2x=x+kπ, nên x=kπ. Với x=kπ, cosx=±1 và cos2x=1, đều khác 0. Vậy nghiệm là x=kπ. Bước đối chiếu điều kiện cho biết các giá trị tìm được có thật sự làm cả hai vế xác định hay không.

Giá trị âm

Giải tanx=−√3.

A$x=-\pi/3+2k\pi$.BTan(−π/3)=−√3, nên $x=-\pi/3+k\pi$, k nguyên.C$x=\pi/3+k\pi$.D$x=-\sqrt3+k\pi$.

Cot bằng 1

Giải cotx=1.

A$x=\pi/4+2k\pi$.B$x=3\pi/4+k\pi$.CCot(π/4)=1 nên x=π/4+kπ, k nguyên.D$x=1+k\pi$.

Lọc nghiệm trên khoảng

Tìm nghiệm tanx=0 trên [0;2π).

ACác nghiệm là $0,\pi,2\pi$.BChỉ có nghiệm $0$ vì $\tan x=0$ tại gốc.Cx=kπ, nên trong khoảng đã cho có 0 và π; 2π không được lấy.DCác nghiệm là $\pi/2,3\pi/2$.

Góc chia 2

Giải cot(x/2)=−1.

A$x=3\pi/4+k\pi$.BCot(3π/4)=−1, nên x/2=3π/4+kπ. Vậy x=3π/2+2kπ, k nguyên.C$x=-\pi/4+2k\pi$.D$x=3\pi/2+k\pi$.

Điều cần nhớ

Tan và cot dùng họ nghiệm cộng kπ. Khi hai vế đều chứa biểu thức lượng giác, ghi điều kiện của cả hai rồi kiểm lại nghiệm.