Biến đổi phương trình lượng giác

Biến đổi để trở về dạng đã biết

Các cách quen thuộc gồm chia cho hằng số khác 0, dùng công thức nhân đôi, chuyển tổng thành tích, hoặc đặt t=sinx hay t=cosx. Nếu đặt t=sinx hoặc cosx thì −1≤t≤1. Nếu phương trình đã có tích bằng 0, cho từng thừa số bằng 0. Không chia ngay cho sinx hoặc cosx khi chưa biết chúng khác 0, vì có thể mất nghiệm. Trong các họ nghiệm dưới đây, k là số nguyên. Sau biến đổi vẫn giữ điều kiện của phương trình ban đầu.

Hệ số ngoài sin khác hệ số trong góc

Giải 2sinx=1. Chia hai vế cho 2, ta được sinx=1/2. Nghiệm là x=π/6+2kπ hoặc x=5π/6+2kπ. Đây không phải sin2x=1. Hệ số 2 ở ngoài tác động lên giá trị sin, còn 2x ở trong sẽ thay đổi góc và khoảng cách giữa các nghiệm.

Không làm mất nghiệm khi chia

Với $\sin x(2\cos x-1)=0$, bước nào đúng?

AChia ngay cho sinxBChỉ giải cosx=1/2CXét sinx=0 hoặc cosx=1/2DChỉ giải sinx=0

Dùng công thức nhân đôi rồi đặt nhân tử

Giải sin2x=sinx. Thay sin2x=2sinx cosx, chuyển vế được sinx(2cosx−1)=0. Vì vậy sinx=0 hoặc cosx=1/2. Các nghiệm là x=kπ, hoặc x=π/3+2kπ, hoặc x=−π/3+2kπ. Nếu đã chia hai vế cho sinx từ đầu, ta sẽ bỏ mất toàn bộ họ x=kπ.

Ẩn phụ có giới hạn giá trị

Ví dụ $2\sin^2x-3\sin x+1=0$. Đặt t=sinx với −1≤t≤1. Phương trình (2t−1)(t−1)=0 cho t=1/2 hoặc 1, đều hợp lệ. Sau đó giải sinx=1/2 và sinx=1 bằng các công thức cơ bản. Một nghiệm đại số t=2, nếu xuất hiện, phải bị loại trước vì không có góc thực nào có sin bằng 2.

Tổng thành tích

Giải sin3x+sinx=0.

ATổng thành tích: 2sin2x cosx=0. Sin2x=0 cho x=kπ/2; cosx=0 cho x=π/2+kπ, đã nằm trong họ trước. Vậy nghiệm gọn là x=kπ/2.BTừ $2\sin2x\cos x=0$, giữ hai họ $x=k\pi/2$ và $x=\pi/2+k\pi$ như hai họ khác nhau.CDùng $\sin3x+\sin x=2\sin4x\cos2x$, nên $x=k\pi/4$ hoặc $x=\pi/4+k\pi/2$.DChia hai vế cho $\cos x$ rồi kết luận $\sin2x=0$.

Hạ bậc để giải

Giải $2\cos^2x-1=0$.

A$x=\pi/2+k\pi$ vì $2\cos^2x-1=0$ tương đương $\cos x=0$.B$x=\pi/4+k\pi$.C$x=k\pi/2$ vì coi vế trái là $\sin2x$.DVế trái là cos2x, nên 2x=π/2+kπ. Kết quả x=π/4+kπ/2.

Ẩn phụ ngoài miền

Giải $\sin^2x-3\sin x+2=0$.

ANhận cả $\sin x=1$ và $\sin x=2$, nên có hai họ nghiệm.BĐặt t=sinx thuộc [−1;1]. (t−1)(t−2)=0, loại t=2, nhận t=1. Vậy x=π/2+2kπ.CTừ $\sin x=1$ suy ra $x=\pi/2+k\pi$.DPhương trình vô nghiệm vì biệt thức của tam thức bằng 1.

Hai cos bằng nhau

Giải cos2x=cosx.

AHai trường hợp: 2x=x+2kπ cho x=2kπ; hoặc 2x=−x+2kπ cho x=2kπ/3. Họ đầu nằm trong họ sau, nên nghiệm gọn x=2kπ/3.B$x=2k\pi$ hoặc $x=2k\pi/3$ là hai họ tách biệt hoàn toàn.CChỉ có $x=2k\pi$ vì từ $\cos2x=\cos x$ suy ra $2x=x+2k\pi$.D$x=k\pi$ vì chia cả hai góc cho 2.

Điều cần nhớ

Biến đổi để nhận dạng quen thuộc. Giữ các trường hợp thừa số bằng 0, giữ miền của ẩn phụ, và gộp họ nghiệm chỉ khi đã kiểm họ nào chứa họ nào.