Một giá trị thường ứng với hai góc trong một vòng
Hai phương trình tương đương khi có cùng tập nghiệm. Khi biến đổi, ta cần giữ điều kiện của biểu thức để không thêm hoặc mất nghiệm.
Phương trình sinx=m hoặc cosx=m chỉ có nghiệm khi |m|≤1. Nếu tìm được góc α có sinα=m thì nghiệm sinx=m là:
$$x=\alpha+2k\pi\quad\text{hoặc}\quad x=\pi-\alpha+2k\pi.$$
Nếu cosα=m thì nghiệm cosx=m là $x=\alpha+2k\pi$ hoặc $x=-\alpha+2k\pi$. Trong mọi họ nghiệm của bài này, k là số nguyên.
Có thể chọn α bằng góc đặc biệt. Nếu không có góc đặc biệt, dùng α=arcsin m hoặc α=arccos m với máy ở RAD; vẫn phải viết đủ các họ nghiệm, không chỉ lấy một kết quả máy trả về.
Ví dụ $\sin x=0{,}4$ không có góc đặc biệt thường dùng. Chọn RAD và tìm một góc bằng chức năng $\sin^{-1}$ trên máy, ta được $\alpha\approx0{,}4115$. Kí hiệu $\sin^{-1}$ trên máy ở đây là tìm góc, không phải lấy nghịch đảo $1/\sin x$.
Hai họ nghiệm vẫn là $x=\alpha+2k\pi$ hoặc $x=\pi-\alpha+2k\pi$, với $\alpha=\arcsin(0{,}4)$. Chỉ làm tròn khi đề yêu cầu giá trị gần đúng; giữ góc chưa làm tròn trong phép tính tiếp theo.
Hai góc có cùng sin
Giải sinx=1/2.
Trong một vòng, hai điểm có tung độ 1/2 ứng với π/6 và 5π/6. Thêm các vòng 2π, ta được hai họ:
$$x=\pi/6+2k\pi;\qquad x=5\pi/6+2k\pi.$$
Trên [0;2π), chỉ có π/6 và 5π/6. Không gộp thành π/6+kπ vì thêm π làm sin đổi dấu.
Nghiệm của sinx=0
Nghiệm đầy đủ của sinx=0 là
Thiếu các bội lẻ của π.
Thiếu các bội chẵn của π.
Đúng: gồm cả hai điểm trên trục hoành.
Đây là nơi cos bằng 0.
Lời giải
Hai họ bội chẵn và bội lẻ của π gộp thành x=kπ, k nguyên.
Góc chứa 2x
Giải cos2x=−1/2 trên [0;2π).
Ta có $2x=\pm2\pi/3+2k\pi$. Chia cả hai vế cho 2 được $x=\pm\pi/3+k\pi$.
Họ x=π/3+kπ cho π/3,4π/3 trong khoảng. Họ x=−π/3+kπ cho 2π/3,5π/3. Vậy có bốn nghiệm π/3,2π/3,4π/3,5π/3. Khi chia góc cho 2, phần chu kì 2kπ cũng phải chia cho 2.
Các trường hợp 0 và ±1
Các họ gọn, với k nguyên:
| Phương trình | Nghiệm |
|---|---|
| sinx=0 | x=kπ |
| sinx=1 | x=π/2+2kπ |
| sinx=−1 | x=−π/2+2kπ |
| cosx=0 | x=π/2+kπ |
| cosx=1 | x=2kπ |
| cosx=−1 | x=π+2kπ |
Nếu bài dùng độ, thay π bằng 180°, 2π bằng 360° nhất quán; không cộng kπ vào một góc đang ghi bằng độ.
Cos bằng giá trị đặc biệt
Giải cosx=√2/2.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Họ này chứa cả các góc có cos bằng $-\sqrt2/2$; chu kì của cos là $2\pi$.
Cos nhận cùng giá trị tại hai góc đối nhau qua trục hoành, nên còn họ $-\pi/4+2k\pi$.
Cos của các góc này bằng 0, không phải $\sqrt2/2$.
Lời giải
$x=\pi/4+2k\pi$ hoặc $x=-\pi/4+2k\pi$, k nguyên.
Không có nghiệm
Giải 2sinx=3.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Phương trình yêu cầu sin bằng $3/2$, vượt ngoài đoạn $[-1;1]$.
Trong số thực, $\arcsin$ chỉ nhận đối số thuộc $[-1;1]$.
Không thể chuyển hệ số đại số thành số đo góc theo cách này.
Lời giải
Suy ra sinx=3/2>1 nên vô nghiệm thực.
Nghiệm ở hai đầu đoạn
Tìm nghiệm sinx=0 trên [0;2π].
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Phương trình hỏi số đo trong đoạn; cả 0 và $2\pi$ đều thuộc đoạn đóng.
Đề cho đoạn $[0;2\pi]$, không phải khoảng nửa kín.
Đó là nghiệm của $\cos x=0$; nghiệm của $\sin x=0$ là $x=k\pi$.
Lời giải
Từ x=kπ, k=0,1,2 cho 0,π,2π. Vì đoạn đóng nên nhận cả hai đầu.
Góc dịch
Giải sin(x−π/6)=0.
Nghiệm của $\sin u=0$ là $u=k\pi$, không chỉ các bội chẵn của $\pi$.
Chuyển $-\pi/6$ sang vế phải phải đổi thành $+\pi/6$.
Phần dịch trong đối số phải được giữ khi giải phương trình.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Lời giải
x−π/6=kπ nên x=π/6+kπ, k nguyên.
Điều cần nhớ
Kiểm |m|≤1, viết đủ họ nghiệm, giải tiếp phần góc và cuối cùng chọn theo miền đề cho. Giá trị máy tính thường chỉ là một góc đại diện.
Đang học