Hai lũy thừa cùng cơ số bằng nhau
Với a>0,a≠1, tính đơn điệu cho ta $a^u=a^v\Longleftrightarrow u=v$. Đây là cơ sở của cách đưa hai vế về cùng cơ số.
Phương trình $a^x=b$ có nghiệm duy nhất $x=\log_ab$ khi b>0. Nếu b≤0, phương trình vô nghiệm vì a^x luôn dương.
Hãy rút gọn hai vế và xem có nhận ra cùng một cơ số không. Nếu không thuận tiện, lấy logarit hai vế dương sẽ đưa số mũ xuống để giải.
Đưa về cùng cơ số
Giải $2^{2x-1}=8$.
Viết 8=2³, ta có $2^{2x-1}=2^3$. Vì cơ số 2 hợp lệ, suy ra 2x−1=3, nên x=2. Thay lại cho $2^{4-1}=8$, đúng.
Phương trình $2^x=8$ tương tự cho x=3; không giải bằng cách lấy 8 chia 2 vì ẩn nằm ở số mũ.
Vế phải không dương
Phương trình $3^x=-9$ có
3⁻²=1/9 dương.
3²=9, không phải −9.
Đúng: hai vế khác dấu.
Không có giá trị x nào làm vế trái âm.
Lời giải
Vế trái dương, vế phải âm, nên vô nghiệm thực.
Đặt ẩn phụ khi có 4 mũ x và 2 mũ x
Giải $4^x-5\cdot2^x+4=0$.
Vì $4^x=(2^x)^2$, đặt t=2^x>0. Phương trình thành $t^2-5t+4=0$, tức (t−1)(t−4)=0. Hai giá trị t=1,4 đều dương.
Trở lại ẩn x: 2^x=1 cho x=0; 2^x=4 cho x=2. Vậy tập nghiệm là {0;2}. Điều kiện t>0 cần được ghi ngay khi đặt ẩn, để loại nghiệm phụ không hợp lệ nếu có.
Khi không nhìn ra cùng cơ số
Ví dụ $3^{2x}=7$. Hai vế dương nên lấy ln: $2x\ln3=\ln7$, suy ra $x=\ln7/(2\ln3)$.
Kết quả chứa logarit vẫn là đáp án chính xác. Chỉ dùng giá trị gần đúng khi đề yêu cầu; khi bấm máy nên đặt ngoặc cho cả mẫu số.
Cơ số phân số
Giải $(1/2)^{x+1}=8$.
Vế trái có cơ số $1/2=2^{-1}$ nên số mũ phải đổi dấu.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Số mũ sau đổi cơ số là $-x-1$, không phải $-x$.
Dấu âm quyết định nghiệm $x=-4$.
Lời giải
Vế trái $2^{-x-1}$, vế phải 2³. Suy ra −x−1=3 nên x=−4.
Dùng logarit
Giải $5^x=12$.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Không thể giải phương trình mũ bằng cách chia giá trị hai vế; phải dùng logarit.
Cơ số của logarit phải là 5 để đảo phép lũy thừa $5^x$.
Số mũ thực cho phép nghiệm $\log_512$.
Lời giải
$x=\log_512=\ln12/\ln5$. Vế phải 12 dương nên có nghiệm duy nhất.
Loại ẩn phụ không dương
Giải $4^x+2^x-2=0$.
$t=2^x$ luôn dương, vì vậy phải loại $t=-2$.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
$2^x=1$ khi $x=0$.
Khi đặt $t=4^x$, hạng $2^x$ là $\sqrt t$, không cho phương trình đã nêu.
Lời giải
Đặt t=2^x>0. Ta có (t+2)(t−1)=0, loại t=−2, nhận t=1. Vậy x=0.
Hai cơ số khác nhau
Giải $2^x=3^{x-1}$.
Thay $x=1$ được 2 và 1, không bằng nhau.
Biểu thức $3^{x-1}$ tạo thêm hạng $-\ln3$ khi lấy logarit.
Hai hàm mũ khác cơ số vẫn có thể cắt nhau; lấy ln cho nghiệm duy nhất.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Lời giải
Lấy ln hai vế: $x\ln2=(x-1)\ln3$. Suy ra $x(\ln3-\ln2)=\ln3$, nên $x=\ln3/\ln(3/2)$.
Điều cần nhớ
Ưu tiên cùng cơ số khi thấy rõ. Nếu đặt ẩn phụ, giữ điều kiện của ẩn ấy và quay về x; nếu lấy logarit, bảo đảm hai vế dương.
Đang học