Giải phương trình logarit cơ bản

Điều kiện đi cùng phép giải

Với cơ số a>0,a≠1, phương trình $\log_a u=b$ tương đương $u=a^b$. Nếu u chứa x, ta vẫn ghi điều kiện u>0 để biết miền đang xét. Với u,v>0, $\log_a u=\log_a v$ tương đương u=v. Hai logarit cùng cơ số có thể bỏ cùng nhau nhờ tính đơn điệu, nhưng không bỏ mất điều kiện. Một trình tự quen thuộc là: ghi điều kiện → biến đổi về phương trình đại số → giải → đối chiếu điều kiện.

Dùng định nghĩa logarit

Giải $\log_2(x-1)=3$. Điều kiện x>1. Theo định nghĩa, x−1=2³=8, nên x=9. Giá trị 9 thỏa điều kiện, vậy nghiệm là 9. Nếu phương trình là log₂x=3 thì nghiệm là 8; cần giữ nguyên cả biểu thức bên trong khi đổi sang lũy thừa.

Điều kiện của tổng hai logarit

$\log_2(x-1)+\log_2(x-3)$ xác định khi

A$x>1$B$x>3$C$x<1$ hoặc $x>3$D$x\ne1,3$

Gộp logarit nhưng giữ điều kiện cũ

Giải $\log_2(x-1)+\log_2(x-3)=3$. Điều kiện x>3. Gộp hai logarit thành $\log_2[(x-1)(x-3)]=3$, ta được (x−1)(x−3)=8. Thu gọn: x²−4x−5=0, nên x=5 hoặc x=−1. Chỉ x=5 thỏa x>3. Giá trị −1 làm hai biểu thức bên trong âm, dù tích của chúng dương; vì thế phải loại. Tập nghiệm là {5}.

Ẩn phụ là một logarit

Khi xuất hiện $(\log_2x)^2$ và log₂x, có thể đặt t=log₂x với điều kiện x>0. Khác với t=2^x, ẩn t=log₂x có thể nhận mọi số thực. Sau khi tìm t, quay lại x=2^t. Chẳng hạn t=−1 vẫn cho x=1/2 hợp lệ, không bị loại vì t âm.

Hai logarit bằng nhau

Giải $\log_3(x+1)=\log_3(2x-1)$.

A$x=-2$ từ $x+1=1-2x$.BĐiều kiện x>1/2. Hai đối số bằng nhau cho x+1=2x−1, nên x=2, thỏa điều kiện.C$x=2$ nhưng loại vì $x>1/2$.DMọi $x>1/2$ đều là nghiệm vì hai logarit cùng cơ số.

Logarit có hệ số

Giải $2\log_5x=4$.

A$x=5^4=625$ vì bỏ hệ số 2.BĐiều kiện x>0. Chia 2 được log₅x=2, nên x=25.C$x=4/2=2$.D$x=\log_54$.

Giải bằng ẩn phụ

Giải $(\log_2x)^2-\log_2x-2=0$.

AChỉ có $x=4$ vì loại nghiệm $t=-1$.Bx>0. Đặt t=log₂x, phương trình (t−2)(t+1)=0. t=2 cho x=4; t=−1 cho x=1/2. Cả hai đều nhận.CCác nghiệm là $x=2$ và $x=-1$.DChỉ có $x=1/2$ vì phương trình bậc hai có một nghiệm âm.

Không có nghiệm thỏa điều kiện

Giải $\log_2(x-2)=\log_2(1-x)$.

A$x=3/2$ từ $x-2=1-x$.BCó hai nghiệm vì mỗi logarit có một điều kiện riêng.CĐiều kiện đồng thời x>2 và x<1 là không thể. Phương trình vô nghiệm; không cần giải tiếp phương trình đối số.DMọi $x$ đều bị loại chỉ vì hai đối số khác nhau.

Điều cần nhớ

Điều kiện lấy từ từng logarit ban đầu. Gộp thành logarit của tích không cho phép nhận thêm những x khiến các thừa số ban đầu âm.