Giải bất phương trình mũ và logarit

Cơ số quyết định có đổi chiều hay không

Với a>1, hai hàm mũ và logarit đều tăng: so sánh số mũ hoặc đối số thì giữ chiều. Với 0<a<1, hai hàm giảm: phải đổi chiều. | Cơ số | Từ $a^u>a^v$ | Từ $\log_au>\log_av$ | |---|---|---| | a>1 | u>v | u>v>0 | | 0<a<1 | u<v | 0<u<v | Các dấu ≥, <, ≤ xử lí tương tự. Với logarit, điều kiện dương phải được giữ dù bất đẳng thức sau biến đổi trông đơn giản.

So sánh số mũ

Giải $2^x>8$ và $(1/2)^{x-1}\ge1/8$. Bài đầu: 8=2³ và cơ số 2>1, nên x>3. Bài sau: $1/8=(1/2)^3$. Vì cơ số 1/2 nhỏ hơn 1, ta đổi chiều để được x−1≤3, tức x≤4. Thử x=4 cho dấu bằng, đúng với yêu cầu ≥.

Cơ số nhỏ hơn 1

$(1/3)^x<(1/3)^2$ tương đương

A$x<2$B$x\le2$C$x>2$D$x\ge2$

Giao với điều kiện logarit

Giải $\log_{1/2}(x-1)\ge-1$. Điều kiện x>1. Vì $-1=\log_{1/2}2$ và cơ số 1/2 nhỏ hơn 1, bất phương trình cho x−1≤2, tức x≤3. Giao với điều kiện, ta được $1<x\le3$. Nếu chỉ ghi x≤3 thì đã nhận cả những giá trị làm logarit không xác định.

Nhìn dấu trước khi lấy logarit

Vì a^x>0, bất phương trình a^x>−2 đúng với mọi x thực, còn a^x≤0 vô nghiệm. Không lấy logarit của −2 hoặc 0 để giải hai trường hợp này. Nếu vế phải b>0 nhưng không thuận tiện đổi cùng cơ số, dùng $b=a^{\log_ab}$ rồi so sánh theo chiều biến thiên.

Logarit cơ số lớn hơn 1

Giải $\log_2x>3$.

A$x<8$ vì chuyển logarit sang lũy thừa phải đổi chiều.B$x>3$ vì bỏ ký hiệu logarit.Cx>0. Vì 3=log₂8 và cơ số 2>1, ta được x>8. Điều này đã thỏa x>0.D$x\ge8$.

Đối số chứa biểu thức

Giải $\log_3(2x-1)\le1$.

AĐiều kiện x>1/2. Cơ số 3>1 nên 2x−1≤3, tức x≤2. Kết quả $(1/2;2]$.B$x\le2$.C$x<1/2$ hoặc $x\le2$.D$x\ge2$ vì cơ số 3 lớn hơn 1.

Bất phương trình mũ không có dấu bằng

Giải $4^x<2$.

A$x\le1/2$.B$x<2$ vì so sánh trực tiếp số mũ với vế phải.C$4^x=2^{2x}$; cơ số 2>1 nên 2x<1, tức x<1/2.D$x>1/2$ vì lấy logarit làm đổi chiều.

Hai logarit với cơ số nhỏ

Giải $\log_{1/2}(x+1)<\log_{1/2}(3-x)$.

AĐiều kiện −1<x<3. Đổi chiều cho x+1>3−x, tức x>1. Kết quả 1<x<3.B$-1<x<1$ vì giữ chiều $x+1<3-x$.C$x>1$.D$1\le x<3$.

Điều cần nhớ

Ghi điều kiện, nhìn cơ số, giữ hoặc đổi chiều, rồi giao các điều kiện. Cuối cùng kiểm xem đầu mút có được lấy hay không.