Cos là hoành độ, sin là tung độ
Trên đường tròn tâm O bán kính 1, lấy A(1;0) làm điểm đầu. Điểm M biểu diễn góc α có tọa độ $(\cos\alpha;\sin\alpha)$.
Ta có $\tan\alpha=\sin\alpha/\cos\alpha$ khi cosα≠0; $\cot\alpha=\cos\alpha/\sin\alpha$ khi sinα≠0. Vì M nằm trên đường tròn đơn vị, $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
Sin và cos nằm trong [−1;1]. Dấu của chúng theo vị trí M: cos mang dấu hoành độ, sin mang dấu tung độ. Tan và cot mang dấu của thương.
Tính từ góc đặc biệt
Góc π/6 bằng 30°. Ta có sin(π/6)=1/2 và cos(π/6)=√3/2. Vì vậy tan(π/6)=1/√3, còn cot(π/6)=√3.
Các giá trị nền thường dùng:
| Góc | sin | cos |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| π/6 | 1/2 | √3/2 |
| π/4 | √2/2 | √2/2 |
| π/3 | √3/2 | 1/2 |
| π/2 | 1 | 0 |
Tan và cot lấy từ hai cột bằng phép chia, nhưng phải kiểm mẫu khác 0. Do đó tan(π/2) và cot0 không xác định.
Chọn dấu theo góc phần tư
Nếu $\pi/2<\alpha<\pi$ thì
Đó là dấu ở góc phần tư IV.
Đó là góc phần tư I.
Đúng: tung độ dương, hoành độ âm.
Đó là góc phần tư III.
Lời giải
Hoành độ âm, tung độ dương nên cosα<0 và sinα>0.
Biết sin, tìm cos đúng dấu
Cho sinα=3/5 và π/2<α<π. Tính cosα, tanα.
Từ hệ thức bình phương, $\cos^2\alpha=1-9/25=16/25$. Góc ở phần tư II nên cosα âm, do đó cosα=−4/5.
Chia sin cho cos, ta được tanα=−3/4. Nếu chỉ lấy căn dương 4/5, kết quả sẽ trái với vị trí góc.
Góc âm
Tính $\sin(-\pi/3)$ và $\cos(-\pi/3)$.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Sin là hàm lẻ nên phải đổi dấu; cos là hàm chẵn nên giữ dấu.
Cos là hàm chẵn nên $\cos(-x)=\cos x$.
Hai giá trị đặc biệt của sin và cos tại $\pi/3$ đã bị đổi chỗ.
Lời giải
Sin đổi dấu nên bằng −√3/2; cos giữ nguyên nên bằng 1/2.
Góc hơn π
Tính $\sin(7\pi/6)$.
Góc $7\pi/6$ thuộc góc phần tư III nên sin âm.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Giá trị $\sqrt3/2$ thuộc sin $\pi/3$; góc phụ ở đây là $\pi/6$.
Sin không bằng 0 chỉ vì góc lớn hơn $\pi$; cần quy về góc phụ.
Lời giải
$7\pi/6=\pi+\pi/6$, nên sin bằng −sin(π/6)=−1/2.
Kiểm điều kiện tan
Tanα xác định tại α=π và α=π/2 không?
Tan chỉ xác định khi cos khác 0; tại $\pi/2$ thì cos bằng 0.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Điều kiện đã bị đảo: $\cos\pi=-1$, còn $\cos(\pi/2)=0$.
Cần tính tan bằng $\sin/\cos$ và kiểm mẫu khác 0.
Lời giải
Tại π, cosπ=−1≠0 nên tanπ=0. Tại π/2, cos=0 nên tan không xác định.
Tìm sin từ cos
Cho $\cos\alpha=-\dfrac{5}{13}$ và $\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}$. Tính $\sin\alpha$.
Căn bậc hai cho hai dấu; góc phần tư III buộc sin âm.
Từ hệ thức $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ thu được độ lớn $12/13$, không phải $5/12$.
Đúng. $\alpha$ thuộc góc phần tư III nên chọn giá trị âm.
Khoảng $\pi<\alpha<3\pi/2$ đã xác định góc phần tư III, nơi sin âm.
Lời giải
Vì $\pi<\alpha<3\pi/2$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư III, do đó $\sin\alpha<0$.
Từ hệ thức $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, ta có
$$\sin^2\alpha=1-\left(-\frac{5}{13}\right)^2=\frac{144}{169}.$$
Chọn giá trị âm, được $\sin\alpha=-12/13$. Chọn C.
Điều cần nhớ
Tìm vị trí góc để chọn dấu; dùng hệ thức bình phương để tìm độ lớn. Với tan và cot, luôn kiểm mẫu trước khi chia.
Đang học