Công thức cộng, nhân đôi và biến đổi

Công thức cộng và trừ: $$\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b,$$ $$\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b.$$ Với tan, khi các biểu thức đều xác định: $$\tan(a\pm b)=\frac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\tan b}.$$ Trong công thức cos, dấu giữa hai tích ngược với dấu trong góc. Không tách sin(a+b) thành sina+sinb.

Từ công thức cộng với b=a: | Biểu thức | Công thức | |---|---| | sin2a | 2sina cosa | | cos2a | cos²a−sin²a | | cos2a | 2cos²a−1 hoặc 1−2sin²a | | sin²a | (1−cos2a)/2 | | cos²a | (1+cos2a)/2 | Ngoài ra tan2a=2tana/(1−tan²a) khi hai vế có nghĩa. Các công thức hạ bậc đưa bình phương về biểu thức có góc đôi, hữu ích khi rút gọn biểu thức hoặc đưa phương trình về dạng quen thuộc.

Ba công thức thường dùng là: $$\cos a\cos b=\frac{\cos(a-b)+\cos(a+b)}2,$$ $$\sin a\sin b=\frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}2,$$ $$\sin a\cos b=\frac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}2.$$ Chẳng hạn $\sin3x\cos x=(\sin4x+\sin2x)/2$. Ta giữ thứ tự a−b đúng với vị trí sin a cos b.

Đặt $p=(u+v)/2$, $q=(u-v)/2$. Khi đó: | Tổng hoặc hiệu | Tích tương ứng | |---|---| | sinu+sinv | 2sinp cosq | | sinu−sinv | 2cosp sinq | | cosu+cosv | 2cosp cosq | | cosu−cosv | −2sinp sinq | Ví dụ sin3x+sinx=2sin2x cosx. Biến đổi này giúp đưa phương trình về tích bằng 0 mà không phải chia cho một biểu thức có thể bằng 0.

Nhìn dạng biểu thức trước: góc tổng/hiệu, góc đôi, tích hay tổng các giá trị. Chọn một công thức phù hợp rồi thay số; không cần biến đổi qua nhiều dạng không phục vụ câu hỏi.