Độc lập và xung khắc

Độc lập nghĩa là xác suất không đổi khi biết thêm biến cố kia

Hai biến cố A,B độc lập khi $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Nếu P(B)>0, điều này tương đương $P(A\mid B)=P(A)$. Độc lập khác **xung khắc**. Xung khắc nghĩa là A và B không thể đồng thời xảy ra, tức $A\cap B=\varnothing$. Nếu cả hai có xác suất dương và xung khắc, chúng không độc lập: biết B đã xảy ra thì xác suất A trở thành 0. Không thể kết luận độc lập chỉ từ việc hai biến cố có tên khác nhau hoặc xảy ra vào hai lúc khác nhau.

Hai lần tung đồng xu

Tung một đồng xu cân đối hai lần độc lập. Gọi A là lần đầu ngửa, B là lần hai ngửa. Không gian mẫu gồm NN,NS,SN,SS đồng khả năng. P(A)=P(B)=1/2; P(A∩B)=1/4. Vì $1/4=(1/2)(1/2)$, A,B độc lập. Biết lần hai ngửa, hai khả năng còn lại là NN,SN; lần đầu ngửa vẫn có xác suất 1/2. Hai biến cố vẫn có thể cùng xảy ra, cụ thể ở kết quả NN.

Độc lập có nghĩa gì?

A,B độc lập và P(B)>0. Kết luận nào đúng?

A$P(A\mid B)=0$B$P(A\mid B)=P(A)$C$P(A\mid B)=1$D$P(A)=P(B)$

Rút có hoàn lại và không hoàn lại

Hộp có 3 đỏ, 2 xanh. Gọi A,B lần lượt là rút đỏ ở lần một và lần hai. Nếu trả lại viên đầu, trộn đều và lần rút sau thực hiện độc lập, P(B|A)=3/5=P(B), hai biến cố độc lập. Nếu không trả lại, P(B|A)=2/4=1/2. Trong khi đó xác suất đỏ ở lần hai vẫn là 3/5 (mỗi viên ban đầu có cơ hội như nhau ở vị trí rút thứ hai). Vì 1/2 khác 3/5, hai biến cố không độc lập. Ta cũng kiểm được bằng giao: $P(A\cap B)=3/10$, khác $(3/5)^2=9/25$.

Biến cố đối của các biến cố độc lập

Nếu A,B độc lập thì A với $\overline B$, $\overline A$ với B, và $\overline A$ với $\overline B$ cũng độc lập. Chẳng hạn hai thiết bị hoạt động độc lập, xác suất tốt lần lượt p,q. Xác suất cả hai hỏng là $(1-p)(1-q)$, nên xác suất ít nhất một thiết bị tốt là $1-(1-p)(1-q)$.

Ít nhất một lần thành công

Hai lần thử độc lập, xác suất thành công lần lượt 0,8 và 0,6. Tính xác suất ít nhất một lần thành công.

AXác suất ít nhất một lần thành công là $0{,}8\cdot0{,}6=0{,}48$.BXác suất bằng $0{,}2\cdot0{,}4=0{,}08$.CXác suất bằng $0{,}8+0{,}6=1{,}4$.DBiến cố đối là cả hai thất bại, xác suất $0{,}2\cdot0{,}4=0{,}08$. Kết quả $1-0{,}08=0{,}92$.

Kiểm độc lập bằng công thức

Cho P(A)=0,4, P(B)=0,5, P(A∩B)=0,2. Hai biến cố có độc lập không?

AKhông độc lập vì $P(A\cap B)=0{,}2\ne0{,}4+0{,}5$.BKhông độc lập vì $0{,}4\ne0{,}5$.CCó, vì $0{,}2=0{,}4\cdot0{,}5$.DĐộc lập vì $0{,}2=0{,}4/0{,}5$.

Hai kết quả loại trừ nhau

Gieo một xúc xắc cân đối. A là ra 1, B là ra 2. Hai biến cố độc lập hay xung khắc?

AXung khắc vì không thể vừa ra 1 vừa ra 2. Không độc lập vì P(A∩B)=0 nhưng P(A)P(B)=1/36>0.BHai biến cố độc lập vì kết quả 1 và 2 khác nhau.CVừa xung khắc vừa độc lập vì không thể cùng xảy ra.DKhông xung khắc vì cùng thuộc một phép gieo xúc xắc.

Đúng một lần thành công

Hai lần thử độc lập, xác suất thành công đều bằng 0,7. Tính xác suất đúng một lần thành công.

AXác suất bằng $0{,}7\cdot0{,}3=0{,}21$.BXác suất bằng $0{,}7^2=0{,}49$.CThành công–thất bại hoặc thất bại–thành công là hai trường hợp rời nhau. Tổng $0{,}7\cdot0{,}3+0{,}3\cdot0{,}7=0{,}42$.DXác suất bằng $1-0{,}3^2=0{,}91$.

Điều cần nhớ

Chỉ thay xác suất có điều kiện bằng xác suất riêng khi có căn cứ độc lập. Xung khắc nói về việc không cùng xảy ra; độc lập nói về việc xác suất không thay đổi.