Công thức xác suất toàn phần

Một kết quả có thể đến từ nhiều nhóm

Giả sử mỗi kết quả thuộc đúng một trong hai nhóm B và không B, với xác suất hai nhóm đều dương. Biến cố A có thể xảy ra ở nhóm nào cũng được. Ta có: $$P(A)=P(B)P(A\mid B)+P(\overline B)P(A\mid\overline B).$$ Đây là công thức xác suất toàn phần. Nó là tổng của hai xác suất giao rời nhau: A xảy ra cùng B, hoặc A xảy ra cùng không B. Nếu chia thành nhiều nhóm $B_1,\ldots,B_n$ rời nhau, phủ hết các khả năng và P(Bᵢ)>0, ta tính từng $P(B_i)P(A\mid B_i)$ rồi cộng lại. Các xác suất nhóm phải có tổng bằng 1.

Chọn hộp rồi rút bi

Chọn hộp I với xác suất 0,4, hộp II với xác suất 0,6. Trong mỗi hộp, rút ngẫu nhiên một bi; xác suất đỏ lần lượt là 0,5 và 0,25.

Chọn hộp I 0,4 hoặc II 0,6; xác suất đỏ theo từng hộp 0,5 và 0,25. Hai đường đến đỏ có xác suất 0,20 và 0,15.

Nhánh hộp I rồi đỏ có xác suất $0{,}4\cdot0{,}5=0{,}20$. Nhánh hộp II rồi đỏ có xác suất $0{,}6\cdot0{,}25=0{,}15$. Hai nhánh loại trừ nhau nên xác suất đỏ là $0{,}20+0{,}15=0{,}35$. Không lấy trung bình cộng của 0,5 và 0,25: hai hộp không được chọn với xác suất bằng nhau.

Chọn phép tính đúng

Chọn nhóm I với xác suất 0,3, nhóm II với xác suất 0,7. Tỉ lệ đạt trong hai nhóm là 0,8 và 0,6. Xác suất đạt chung bằng

A$0{,}8+0{,}6$B$(0{,}8+0{,}6)/2$C$0{,}3\cdot0{,}8+0{,}7\cdot0{,}6$D$0{,}3\cdot0{,}7$

Đi đúng giờ theo thời tiết

Xác suất ngày nắng là 0,7, ngày mưa là 0,3; giả sử chỉ có hai loại thời tiết này. Xe đúng giờ với xác suất 0,9 khi nắng, 0,5 khi mưa. Xác suất đúng giờ chung là $0{,}7\cdot0{,}9+0{,}3\cdot0{,}5=0{,}78$. Vì “đúng giờ” và “muộn” là hai khả năng còn lại của tình huống, xác suất muộn là 0,22. Kiểm lại bằng nhánh muộn: $0{,}7\cdot0{,}1+0{,}3\cdot0{,}5=0{,}22$.

Ba nhóm

Ba máy làm ra 20%, 30%, 50% tổng sản phẩm. Tỉ lệ lỗi tương ứng 1%, 2%, 3%. Chọn ngẫu nhiên đều một sản phẩm từ toàn bộ. Tính xác suất lỗi.

AXác suất lỗi bằng $1\%+2\%+3\%=6\%$.BXác suất lỗi bằng trung bình $(1+2+3)/3=2\%$.C$0{,}2\cdot0{,}01+0{,}3\cdot0{,}02+0{,}5\cdot0{,}03=0{,}023$, tức 2,3%.DXác suất lỗi bằng $0{,}2\cdot0{,}3\cdot0{,}5=0{,}03$.

Hai nhóm được chọn đều

Hai hộp được chọn với xác suất bằng nhau, tỉ lệ bi đỏ là 0,2 và 0,8. Tính xác suất đỏ.

A$0{,}5\cdot0{,}2+0{,}5\cdot0{,}8=0{,}5$. Trường hợp này có thể lấy trung bình cộng vì hai trọng số bằng nhau.BXác suất đỏ bằng $0{,}2+0{,}8=1$.CXác suất đỏ bằng $0{,}2\cdot0{,}8=0{,}16$.DXác suất đỏ bằng $0{,}8$ vì chọn phương án có tỉ lệ cao hơn.

Không bỏ sót nhóm

Một bài chia thành ba nhóm nhưng chỉ cộng xác suất thuận lợi của hai nhóm đầu. Khi nào phép tính này thiếu?

AThiếu nếu nhóm thứ ba cũng có xác suất dương dẫn đến biến cố cần tính. Phải xét đủ mọi nhóm; nhóm có đóng góp bằng 0 mới không làm thay đổi tổng khi bỏ số hạng ấy.BKhông bao giờ thiếu vì chỉ cần hai nhóm để áp dụng xác suất toàn phần.CChỉ thiếu khi nhóm thứ ba có xác suất chọn bằng $0$.DThiếu bất kể nhóm thứ ba có thể dẫn đến biến cố hay không.

Kiểm khoảng của kết quả

Xác suất đạt ở hai nhóm là 0,6 và 0,8, xác suất chọn mỗi nhóm dương. Kết quả chung 0,9 có thể đúng không?

AKhông. Xác suất chung là trung bình có trọng số dương của 0,6 và 0,8 nên nằm giữa hai số đó. Kết quả 0,9 báo hiệu tính sai hoặc đọc sai dữ kiện.BCó thể vì $0{,}9$ vẫn là một xác suất hợp lệ.CCó thể nếu chọn nhóm có xác suất $0{,}8$ nhiều hơn.DKhông; kết quả chung phải đúng bằng $(0{,}6+0{,}8)/2=0{,}7$.

Điều cần nhớ

Nhóm phải đầy đủ và không chồng nhau. Mỗi số hạng là “xác suất vào nhóm × xác suất thuận lợi trong nhóm”; sau đó mới cộng.