Mỗi lần cộng cùng một số
Cấp số cộng thỏa uₙ₊₁=uₙ+d, với d không đổi gọi là công sai. Vì vậy hiệu hai số hạng liên tiếp luôn bằng d.
Từ u₁ đến uₙ có n−1 lần cộng d, nên:
$$u_n=u_1+(n-1)d.$$
Tổng quát, uₘ−uₙ=(m−n)d. Nếu d>0 thì dãy tăng, d<0 thì giảm, d=0 thì không đổi. Với ba số hạng liên tiếp a,b,c, ta có 2b=a+c.
Nhận và tính số hạng
Dãy được cho là cấp số cộng bắt đầu 2,5,8,11,… Công sai d=3 vì mỗi lần thêm 3. Số hạng tổng quát uₙ=2+3(n−1)=3n−1.
Số hạng thứ 10 là u₁₀=2+9·3=29. Có 9 bước từ vị trí 1 đến vị trí 10, không phải 10 bước.
Công sai có thể âm
Cấp số cộng 10,7,4,1 có công sai
Đó là độ lớn, thiếu dấu âm.
Đúng: sau trừ trước bằng −3.
7 là số hạng thứ hai.
Không phải hiệu hai số hạng liên tiếp.
Lời giải
d=7−10=−3; các hiệu tiếp theo cũng bằng −3.
Biết hai số hạng ở xa nhau
Một cấp số cộng có u₃=8 và u₇=20. Tìm u₁,d.
Từ vị trí 3 đến 7 có 4 lần tăng d, nên 20−8=4d, suy ra d=3. Khi đó u₃=u₁+2d cho u₁=8−6=2.
Có thể viết hệ u₁+2d=8, u₁+6d=20 rồi trừ hai phương trình; đó là cùng một lập luận.
Chứng minh công sai không đổi
Cho uₙ=4n−3, n≥1. Chứng minh là cấp số cộng và tìm u₁,d.
Khai triển $4(n+1)-3-(4n-3)$ cho kết quả 4, không còn $n$.
Công sai là hiệu hai số hạng liên tiếp, không phải số hạng đầu.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Cần thay $n=1$ để tìm $u_1$ và lấy hiệu liên tiếp để tìm $d$.
Lời giải
uₙ₊₁−uₙ=4, không phụ thuộc n. Vậy là cấp số cộng d=4, u₁=1.
Tìm số hạng
Cấp số cộng có u₁=5,d=−2. Tính u₆.
Công thức dùng $(n-1)d$; từ số hạng thứ nhất đến thứ sáu có 5 bước.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Công sai bằng $-2$, nên mỗi bước phải giảm 2.
Đây là công thức cấp số nhân; bài cho cấp số cộng.
Lời giải
u₆=5+5·(−2)=−5.
Tìm chỉ số
Cấp số cộng có u₁=3,d=4. Số 31 là số hạng thứ mấy?
Giá trị 7 là số bước tăng; chỉ số bằng số bước cộng thêm 1.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Số hạng tổng quát là $u_1+(n-1)d$, không phải $u_1+nd$.
Cần xét $31-3=28$, chia hết cho 4; thực tế $u_8=31$.
Lời giải
3+4(n−1)=31 cho n=8. Đây là chỉ số nguyên dương nên hợp lệ.
Chèn số giữa
Tìm x để 4,x,10 theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng.
Số ở giữa ba số hạng liên tiếp bằng trung bình cộng của hai số ngoài.
Hai hiệu liên tiếp phải bằng nhau: $x-4=10-x$.
Số 3 là công sai; số hạng giữa phải bằng $4+3=7$.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Lời giải
2x=4+10 nên x=7. Hai hiệu đều bằng 3.
Điều cần nhớ
Cấp số cộng có hiệu không đổi. Công thức số hạng dùng n−1 bước; khi biết hai vị trí, lấy hiệu giá trị chia hiệu chỉ số để tìm công sai.
Đang học