Cách cho dãy số, tăng giảm và bị chặn

Chỉ số là vị trí, số hạng là giá trị

Một dãy số là các giá trị được sắp theo thứ tự chỉ số. Ta thường viết $u_1,u_2,\ldots,u_n,\ldots$ với $n$ nguyên dương. Dãy hữu hạn chỉ có các chỉ số từ $1$ đến một số $m$ cho trước. Có thể cho một dãy số bằng cách liệt kê, mô tả, nêu công thức của $u_n$ theo $n$, hoặc dùng hệ thức truy hồi để tính số hạng sau từ số hạng trước. Với cách cho bằng hệ thức truy hồi, cần nêu đủ các số hạng ban đầu. Cần xác định miền chỉ số trước khi tính. Nếu $n\ge1$ thì số hạng đầu là $u_1$; nếu mô hình bắt đầu từ $n=0$ thì dữ kiện ban đầu là $u_0$.

Tính từ công thức và từ truy hồi

Với uₙ=2n+1, n≥1, ta có u₁=3, u₂=5, u₃=7 và u₁₀=21. Thay n=0 để được 1 sẽ không cho số hạng đầu của dãy này. Một dãy khác cho v₁=2 và vₙ₊₁=3vₙ−1. Tính lần lượt: v₂=3·2−1=5, v₃=3·5−1=14. Không thay ngay n=3 vào vₙ₊₁=3vₙ−1 để coi đó là công thức trực tiếp theo n.

Đọc vị trí thứ ba

Với uₙ=n²+1, n≥1, u₃ bằng

A3B4C9D10

So sánh hai số hạng liên tiếp

Dãy tăng khi uₙ₊₁>uₙ với mọi n trong miền thích hợp; dãy giảm khi uₙ₊₁<uₙ. Cách quen thuộc là tính hiệu uₙ₊₁−uₙ và xét dấu cho mọi n. Nếu các số hạng đều dương, cũng có thể so sánh tỉ số uₙ₊₁/uₙ với 1. Không dùng cách chia khi mẫu có thể bằng 0. Một vài số hạng đầu gợi ý quy luật nhưng chưa chứng minh tính tăng giảm của cả dãy vô hạn. Ví dụ uₙ=2n+1 có hiệu uₙ₊₁−uₙ=2>0, nên tăng.

Dãy giảm nhưng vẫn bị chặn

Xét uₙ=1/n, n≥1. Ta có:

Các điểm (n;1/n) với n từ 1 đến 8 giảm dần, nằm trên mức 0 và không vượt 1; chỉ số là số nguyên.

$$u_{n+1}-u_n=\frac1{n+1}-\frac1n=-\frac1{n(n+1)}<0.$$ Vậy dãy giảm. Đồng thời 0<uₙ≤1 với mọi n≥1, nên dãy bị chặn dưới bởi 0 và chặn trên bởi 1. Số chặn dưới không cần là một số hạng đã đạt được: dãy này không có số hạng bằng 0.

Bị chặn không có nghĩa là tăng hoặc giảm

Dãy bị chặn trên nếu có một số M mà uₙ≤M với mọi n; bị chặn dưới nếu có m mà uₙ≥m. Có cả hai thì gọi là bị chặn. Ví dụ uₙ=(−1)ⁿ luôn nằm trong [−1;1] nhưng luân phiên −1,1,−1,1,… nên không tăng cũng không giảm. Còn uₙ=n tăng và bị chặn dưới bởi 1, nhưng không bị chặn trên.

Xét hiệu

Xét tính tăng giảm của uₙ=5−2n, n≥1.

A$u_{n+1}-u_n=2>0$ nên dãy tăng.Buₙ₊₁−uₙ=−2<0 với mọi n≥1, nên dãy giảm.C$u_{n+1}-u_n=0$ nên dãy không đổi.DDãy giảm từ $n=1$ nhưng chưa thể kết luận cho mọi $n$.

Viết ba số hạng

Cho u₁=1, uₙ₊₁=uₙ+2. Viết ba số hạng đầu.

Au₁=1, u₂=3, u₃=5.BBa số hạng đầu là $1,2,3$.CBa số hạng đầu là $1,3,6$.DBa số hạng đầu là $1,2,4$.

Tìm hai số chặn

Với uₙ=1+1/n, n≥1, hãy cho một số chặn dưới và một số chặn trên.

A1<uₙ≤2 nên 1 là số chặn dưới, 2 là số chặn trên.B$0<u_n<1$, nên 0 và 1 lần lượt là hai số chặn.C$u_n\ge2$ với mọi $n$, nên 2 là số chặn dưới.DDãy không bị chặn trên vì $n$ tăng không giới hạn.

Vài số đầu chưa quyết định toàn dãy

Chỉ biết ba số hạng đầu là 1,2,3, có thể chắc chắn dãy vô hạn tăng không?

AKhông. Các số hạng sau chưa được quy định; số hạng thứ tư có thể nhỏ hơn 3. Cần quy luật hoặc công thức cho toàn dãy.BCó, ba số hạng đầu tăng nên toàn bộ dãy tăng.CCó, dãy bắt đầu bằng $1,2,3$ nên chắc chắn có công sai 1.DKhông, vì số hạng thứ tư bắt buộc nhỏ hơn 3.

Điều cần nhớ

Phân biệt chỉ số với giá trị. Tính theo đúng cách dãy được cho; muốn kết luận cho mọi số hạng, dùng quy luật tổng quát thay vì chỉ quan sát vài số đầu.