Ý nghĩa đạo hàm và tiếp tuyến

Trên đồ thị $y=f(x)$, lấy $P(x_0;f(x_0))$ và một điểm $Q(x;f(x))$ khác $P$. Hệ số góc cát tuyến $PQ$ là $[f(x)-f(x_0)]/(x-x_0)$. Khi $Q$ tiến về $P$, nếu hệ số góc này có giới hạn hữu hạn, ta nhận được tiếp tuyến tại $P$ với hệ số góc $f'(x_0)$. Phương trình tiếp tuyến: $$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$ Cần đủ hai dữ kiện: tiếp điểm và hệ số góc. Đạo hàm bằng $0$ cho tiếp tuyến nằm ngang, không có nghĩa tung độ tiếp điểm bằng $0$.

Nếu $s(t)$ là tọa độ của vật chuyển động thẳng theo thời gian thì $v(t)=s'(t)$ là vận tốc tức thời. Khi $s$ tính bằng mét, $t$ bằng giây, vận tốc tính bằng m/s. Ví dụ $s(t)=t^2$ với $t\ge0$. Từ định nghĩa đã học, $v(t)=2t$. Tại $t=3$ giây, vật có tọa độ $9$ m và vận tốc $6$ m/s. Vận tốc có dấu theo chiều dương đã chọn; tốc độ là độ lớn của vận tốc. Không gọi tọa độ là quãng đường trong mọi trường hợp.

Tiếp tuyến cần giá trị hàm và đạo hàm tại cùng một hoành độ. Bài chuyển động cần phân biệt tọa độ, vận tốc và tốc độ, đồng thời ghi đúng đơn vị.