Vectơ và các quy tắc hình học

Một đoạn đường dài $3$ m chưa cho biết ta đi về phía nào. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ bổ sung điều đó: điểm đầu là $A$, điểm cuối là $B$, hướng từ $A$ đến $B$ và độ dài bằng $AB$. Hai vectơ khác vectơ không **cùng phương** khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Hai vectơ **bằng nhau** khi cùng hướng và cùng độ dài; không nhất thiết phải chung điểm đầu. Vectơ $\overrightarrow{AA}=\vec0$ có độ dài bằng $0$. Ta quy ước vectơ không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. Vectơ đối của $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{BA}$.

Quy tắc ba điểm: đi từ $A$ đến $B$, rồi từ $B$ đến $C$, có vectơ tổng là đi thẳng từ $A$ đến $C$: $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.$$ Khi hai vectơ có chung điểm đầu, ta dùng quy tắc hình bình hành. Với hình bình hành $ABCD$: $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.$$ Phép trừ là cộng với vectơ đối. Đặc biệt, $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$. Với số thực $k$, vectơ $k\vec u$ có độ dài $|k|\,|\vec u|$. Nếu $\vec u\ne\vec0$, nó cùng hướng với $\vec u$ khi $k>0$, ngược hướng khi $k<0$; khi $k=0$, kết quả là $\vec0$. Các phép cộng và nhân với số có tính giao hoán, kết hợp, phân phối như ta đã học ở mặt phẳng.

Khi cộng hoặc trừ vectơ, cần nhìn điểm đầu và điểm cuối trước. Khi nhân với một số, hãy xét riêng độ dài và hướng. Các quy tắc vẫn dùng được trong không gian, không cần tất cả các điểm nằm trên cùng một mặt phẳng.