Ba mốc chia mẫu thành bốn phần
Ở bài trước, ta dùng trung vị để tìm vị trí giữa mẫu. Tứ phân vị cho thêm hai mốc ở hai bên: $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ tương ứng với khoảng 25%, 50%, 75% số giá trị nằm phía dưới. Trong đó, $Q_2$ chính là trung vị.
Với bảng ghép nhóm, ta không biết từng giá trị ban đầu. Vì thế, kết quả tính từ bảng là giá trị xấp xỉ cho tứ phân vị của mẫu gốc. Ta tìm nhóm trước, rồi tính vị trí bên trong nhóm ấy.
Tìm nhóm rồi thay vào công thức
Gọi $n$ là cỡ mẫu. Với $Q_1$, ta xét mốc $n/4$ trong tần số tích lũy; với $Q_3$, xét mốc $3n/4$.
Trong nhóm đang xét, gọi $L$ là đầu mút trái, $h$ là độ dài nhóm, $f$ là tần số nhóm và $F$ là tổng tần số của các nhóm đứng trước. Khi đó:
$$Q_1=L+\frac{n/4-F}{f}h,\qquad Q_3=L+\frac{3n/4-F}{f}h.$$
**Mỗi tứ phân vị có thể nằm trong một nhóm khác nhau**, nên các số $L,F,f,h$ phải được xác định lại. Với nhóm đầu tiên, $F=0$. Không làm tròn các mốc $n/4$ và $3n/4$ thành số nguyên trước khi tính.
Đọc bảng thời gian làm bài
Một nhóm học sinh ghi lại thời gian hoàn thành bài luyện tập:
| Thời gian (phút) | $[10;20)$ | $[20;30)$ | $[30;40)$ | $[40;50)$ |
|---|---:|---:|---:|---:|
| Số học sinh | 4 | 12 | 10 | 6 |
| Tần số tích lũy | 4 | 16 | 26 | 32 |
Ta có $n=32$, nên hai mốc cần tìm là $8$ và $24$.
Vì $4<8<16$, $Q_1$ thuộc nhóm $[20;30)$. Ở nhóm này, $L=20$, $F=4$, $f=12$, $h=10$:
$$Q_1=20+\frac{8-4}{12}\cdot10=\frac{70}{3}\approx23{,}33\text{ phút}.$$
Vì $16<24<26$, $Q_3$ thuộc nhóm $[30;40)$. Ta dùng bộ số mới $L=30$, $F=16$, $f=10$, $h=10$:
$$Q_3=30+\frac{24-16}{10}\cdot10=38\text{ phút}.$$
Theo ước lượng từ bảng, khoảng 25% học sinh hoàn thành trong thời gian dưới 23,33 phút; khoảng 75% hoàn thành trong thời gian dưới 38 phút. Không thể khẳng định chính xác thời gian của từng học sinh từ bảng ghép nhóm.
Xác định tứ phân vị thứ hai
Với bảng trên, tính $Q_2$.
Số 16 là vị trí trong mẫu, không phải giá trị tứ phân vị.
Mốc nằm ở cuối nhóm nên nội suy cho đầu mút 30, không phải trung điểm.
Từ nhóm kế tiếp, phần nội suy bằng 0 nên vẫn nhận biên 30.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Lời giải
$Q_2$ là trung vị, có mốc $n/2=16$. Mốc này đúng ranh giới tích lũy của hai nhóm liền nhau. Tính từ nhóm $[20;30)$:
$$Q_2=20+\frac{16-4}{12}\cdot10=30\text{ phút}.$$
Tính từ nhóm kế tiếp cũng được $30+(16-16)\cdot10/10=30$.
Khi mốc nằm trong nhóm đầu
Ba nhóm $[0;10)$, $[10;20)$, $[20;30)$ có tần số lần lượt $8,6,6$. Ta có $n=20$, nên $n/4=5$. Mốc 5 nằm trong nhóm đầu tiên; trước nhóm này chưa có quan sát nào, do đó $F=0$.
$$Q_1=0+\frac{5-0}{8}\cdot10=6{,}25.$$
Không cần tạo thêm một nhóm bên trái: chỉ cần dùng đúng $F=0$.
Tính hai tứ phân vị
Các nhóm $[0;5)$, $[5;10)$, $[10;15)$, $[15;20)$ có tần số $3,9,6,2$. Tính $Q_1,Q_3$.
Các số 5 và 15 là vị trí trong mẫu; cần nội suy thành giá trị.
Tứ phân vị ghép nhóm dùng nội suy theo tần số tích lũy, không mặc nhiên là trung điểm nhóm.
Mốc $Q_3$ nằm giữa nhóm $[10;15)$ và nội suy được 12,5, không phải đầu phải 15.
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Lời giải
Cỡ mẫu $n=20$; tích lũy là $3,12,18,20$. Mốc 5 thuộc nhóm thứ hai, mốc 15 thuộc nhóm thứ ba:
$$Q_1=5+\frac{5-3}{9}\cdot5=\frac{55}{9}\approx6{,}11;$$
$$Q_3=10+\frac{15-12}{6}\cdot5=12{,}5.$$
Giải thích ý nghĩa của tứ phân vị
Một bảng thời gian chờ có $Q_1\approx4$ phút. Có thể nói khoảng 75% lượt chờ từ 4 phút trở lên không? Có thể nói chính xác 75% không?
Phương án dùng đúng dữ kiện và lập luận.
Bảng ghép nhóm và các giá trị trùng nhau không cho phép khẳng định tỉ lệ chính xác.
$Q_1$ để khoảng một phần tư ở phía dưới, nên khoảng ba phần tư ở từ mốc đó trở lên.
Tứ phân vị thứ nhất không phải giá trị nhỏ nhất của mẫu.
Lời giải
Theo ý nghĩa tứ phân vị, có thể diễn giải xấp xỉ như vậy. Không khẳng định chính xác 75% từ bảng ghép nhóm: ta không biết từng giá trị gốc và có thể có giá trị trùng nhau.
Điều cần nhớ
Lập tần số tích lũy → tìm nhóm ứng với $n/4$, $n/2$, $3n/4$ → lấy đúng $L,F,f,h$ cho từng nhóm → tính và ghi đơn vị. $Q_2$ là trung vị; ba tứ phân vị là các mốc vị trí, không phải tần số của nhóm.
Đang học