Phân biệt lấy có hoàn lại và không hoàn lại
Nếu thẻ lấy ở lần đầu được trả lại hộp thì ở lần sau vẫn có thể lấy đúng thẻ đó. Nếu không trả lại, thẻ ấy không còn trong hộp và các kết quả lặp như $AA$ không thể xảy ra. Vì vậy, cách tiến hành phép thử quyết định không gian mẫu.
Hai lần lấy có hoàn lại
Hộp có ba thẻ giống nhau ghi A,B,C. Lấy ngẫu nhiên một thẻ, ghi tên rồi trả lại và trộn đều; lấy lần hai. Ghi thứ tự hai lần. Bảng có chín kết quả đồng khả năng: AA,AB,AC,BA,BB,BC,CA,CB,CC.
Biến cố “hai lần cùng thẻ” có AA,BB,CC, nên xác suất 3/9=1/3.
Hai lần lấy không hoàn lại
Nếu không trả thẻ lần đầu, bảng chỉ còn:
| Lần đầu / Lần sau | A | B | C |
|---|---|---|---|
| A | Không thể | AB | AC |
| B | BA | Không thể | BC |
| C | CA | CB | Không thể |
Sáu kết quả có thứ tự đồng khả năng: lần đầu mỗi thẻ được chọn như nhau, lần sau mỗi thẻ còn lại được chọn như nhau. Biến cố “có thẻ A trong hai thẻ” nhận AB,AC,BA,CA nên xác suất 4/6=2/3. Biến cố lấy hai lần cùng thẻ nay có xác suất 0.
Khi chỉ quan tâm cặp được chọn
Nếu chọn đồng thời hai thẻ và không phân biệt thứ tự, có ba cặp {A,B},{A,C},{B,C}. Chọn ngẫu nhiên đều trong ba cặp thì hai cặp chứa A, xác suất 2/3.
Hai cách mô tả cho cùng kết quả khi dùng nhất quán. Không lấy hai cặp thuận lợi không thứ tự rồi chia cho sáu kết quả có thứ tự.
Liệt kê cách xếp ba người
Xếp ngẫu nhiên đều ba người An (A), Bình (B), Chi (C) vào một hàng ba ghế. Các cách theo thứ tự từ trái sang phải là ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA.
An ngồi giữa trong BAC,CAB, nên xác suất 2/6=1/3. An và Bình ngồi cạnh nhau trong ABC,BAC,CAB,CBA, nên xác suất 4/6=2/3. Ta liệt kê sáu cách, không cần công thức đếm mới.
Chọn hai thẻ không hoàn lại
Hộp có bốn thẻ giống nhau ghi 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai thẻ, không trả lại. Xác suất để tổng hai số bằng 5 là:
Có bốn kết quả thuận lợi chứ không phải ba trong 12 kết quả.
Đúng. Khi đếm có thứ tự, cả tử và mẫu đều phải theo cùng cách.
Sáu kết quả thuận lợi sẽ cho $\frac12$, nhưng thực tế chỉ có bốn.
Phương án này đã đếm quá nhiều cặp thuận lợi.
Lời giải
Giữ thứ tự, có 12 kết quả đồng khả năng:
$$(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),$$
$$(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).$$
Tổng bằng 5 ở bốn cặp $(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)$. Do đó
$$P=\frac4{12}=\frac13.$$
Chọn B.
Phát hiện cách đếm không thống nhất
Ở bài chọn hai trong ba thẻ A, B, C không hoàn lại, một lời giải tính xác suất có A là $\frac26$ vì có hai cặp $\{A,B\},\{A,C\}$. Nhận xét nào đúng?
Tử và mẫu đang dùng hai cách mô tả khác nhau nên tỉ số $\frac26$ không đúng.
Có bốn kết quả thuận lợi nếu đếm có thứ tự, không phải ba.
Không hoàn lại nên các trường hợp lặp AA, BB, CC bị loại; chỉ còn sáu kết quả có thứ tự.
Đúng. Đếm tử và mẫu theo cùng một cách đều cho xác suất $\frac23$.
Lời giải
Hai cặp $\{A,B\},\{A,C\}$ được đếm không xét thứ tự, trong khi mẫu số 6 đếm các cặp có thứ tự. Cần dùng thống nhất một trong hai cách:
- Không xét thứ tự: hai trong ba cặp, được $\frac23$.
- Có thứ tự: bốn kết quả AB, AC, BA, CA trong sáu kết quả, được $\frac46=\frac23$.
Chọn D.
Những điều cần xác định trước khi đếm
Cần xác định phép lấy có hoàn lại hay không, kết quả có phân biệt thứ tự hay không và các kết quả được liệt kê có đồng khả năng hay không. Khi tính xác suất, phải dùng thống nhất một cách đếm cho cả không gian mẫu và các kết quả thuận lợi.
Đang học