Cạnh đối và cạnh kề của một góc nhọn
Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, cạnh $BC$ là cạnh huyền. Xét góc $B$, cạnh $AC$ là cạnh đối và cạnh $AB$ là cạnh kề của góc $B$. Nếu xét góc $C$ thì $AB$ là cạnh đối, còn $AC$ là cạnh kề. Vì vậy, cạnh đối và cạnh kề luôn được xác định theo góc nhọn đang xét.
Vì sao tỉ số gắn với góc?
Hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau thì đồng dạng theo trường hợp góc–góc. Các cạnh tương ứng tỉ lệ, nên tỉ số cạnh đối/cạnh huyền của góc ấy không thay đổi dù tam giác lớn hay nhỏ. Điều này cho phép dùng các tỉ số cạnh để mô tả một góc nhọn.
Bốn tỉ số lượng giác
Xét góc nhọn B trong tam giác ABC vuông tại A:
| Tỉ số | Cách lập | Trong tam giác ABC |
|---|---|---|
| $\sin B$ | Đối / huyền | $AC/BC$ |
| $\cos B$ | Kề / huyền | $AB/BC$ |
| $\tan B$ | Đối / kề | $AC/AB$ |
| $\cot B$ | Kề / đối | $AB/AC$ |
Các tỉ số đều dương. Sin và côsin của góc nhọn nhỏ hơn 1 vì cạnh huyền lớn hơn mỗi cạnh góc vuông. Tang và côtang là hai số nghịch đảo: $\cot B=1/\tan B$.
Tính từ các cạnh
Tam giác trong hình có AB=8, AC=6. Theo Pythagore, $BC=\sqrt{8^2+6^2}=10$.
Xét góc B, ta có $\sin B=6/10=3/5$, $\cos B=8/10=4/5$, $\tan B=6/8=3/4$ và $\cot B=8/6=4/3$.
Đổi sang góc C thì cạnh đối là AB: $\sin C=8/10=4/5$. Cạnh huyền BC vẫn giữ nguyên.
Cạnh nào nằm đối diện góc?
Trong tam giác ABC vuông tại A, tỉ số nào bằng $\tan C$?
Đúng. Đây là cạnh đối chia cạnh kề của góc C.
Đây là $\cot C$, đồng thời là $\tan B$.
Đây là $\sin C$.
Cạnh huyền không có trong tỉ số tang.
Lời giải
Đối với góc C, cạnh đối là AB và cạnh kề là AC, nên $\tan C=AB/AC$. Chọn A.
Tính bốn tỉ số lượng giác
Tam giác MNP vuông tại M, có $MN=9$ cm, $MP=12$ cm. Bộ bốn giá trị $(\sin N;\cos N;\tan N;\cot N)$ nào đúng?
Bộ giá trị này ứng với góc P, không phải góc N.
Đúng. Cạnh đối của góc N dài 12 cm và cạnh kề dài 9 cm.
Hai giá trị sin, cos đúng nhưng tang và côtang đã bị đảo.
Các tỉ số dùng cạnh đối và cạnh kề không nhất quán.
Lời giải
Theo định lí Pythagore:
$$NP=\sqrt{9^2+12^2}=15\text{ cm}.$$
Đối với góc N, cạnh đối là MP=12, cạnh kề là MN=9. Do đó
$$\sin N=\frac{12}{15}=\frac45,\quad \cos N=\frac9{15}=\frac35,$$
$$\tan N=\frac{12}{9}=\frac43,\quad \cot N=\frac9{12}=\frac34.$$
Chọn B.
Giải thích bằng tam giác đồng dạng
Hai tam giác ABC và A′B′C′ lần lượt vuông tại A và A′, đồng thời $\widehat B=\widehat{B'}$. Lập luận nào chứng minh được $\frac{AC}{BC}=\frac{A'C'}{B'C'}$?
Đề bài không cho hai cạnh huyền bằng nhau; điều đó cũng không phải căn cứ trực tiếp cho tỉ số cần chứng minh.
Định lí Pythagore riêng lẻ không cho biết quan hệ giữa hai tam giác.
Đúng. Tỉ số của hai cặp cạnh tương ứng trong hai tam giác đồng dạng bằng nhau.
Đề bài không cho hai diện tích bằng nhau.
Lời giải
Hai tam giác có
$$\widehat A=\widehat{A'}=90^\circ,\qquad \widehat B=\widehat{B'}.$$
Vì vậy chúng đồng dạng theo trường hợp góc–góc. Các cạnh AC và A′C′ tương ứng, hai cạnh huyền BC và B′C′ cũng tương ứng, nên
$$\frac{AC}{BC}=\frac{A'C'}{B'C'}.$$
Chọn C.
Kiến thức cần nhớ
Đối với một góc nhọn trong tam giác vuông, trước hết xác định cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền. Khi đó $\sin$ bằng đối chia huyền, $\cos$ bằng kề chia huyền, $\tan$ bằng đối chia kề và $\cot$ bằng kề chia đối. Các tỉ số lượng giác không phụ thuộc vào kích thước của tam giác vuông.
Đang học