Phương trình hai ẩn và nghiệm của hệ

Phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$ có dạng $ax+by=c$, trong đó $a,b,c$ là các số đã biết và **ít nhất một trong hai số $a,b$ khác 0**. Chẳng hạn, $2x-3y=6$ có $a=2$, $b=-3$, $c=6$. Phương trình $0x+4y=8$ vẫn thuộc dạng này vì hệ số của $y$ khác 0. Nhưng $0x+0y=8$ không thuộc dạng này. Các biểu thức $x^2+y=4$ và $xy=4$ cũng không phải phương trình bậc nhất hai ẩn.

Mỗi nghiệm $(x;y)$ của phương trình $ax+by=c$ được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng tọa độ. Tập hợp tất cả các điểm như vậy là một đường thẳng. Với $2x-y=5$, đó là đường thẳng $y=2x-5$. Để vẽ, ta xác định hai điểm $(0;-5)$ và $(3;1)$ rồi kẻ đường thẳng qua chúng. Nếu phương trình là $0x+y=2$, nghiệm có dạng $(x;2)$ với $x$ tùy ý: các điểm nằm trên đường thẳng ngang $y=2$. Nếu là $x+0y=-1$, nghiệm có dạng $(-1;y)$ với $y$ tùy ý: các điểm nằm trên đường thẳng đứng $x=-1$. Không cần chia cho một hệ số bằng 0 để viết nghiệm.

Một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn gồm hai phương trình cùng xét các ẩn $x,y$: $$\begin{cases}ax+by=c\\a'x+b'y=c'.\end{cases}$$ Mỗi phương trình đều phải thỏa mãn điều kiện về hệ số trong định nghĩa. Một cặp số là nghiệm của hệ khi nó là **nghiệm chung**, tức làm đúng đồng thời cả hai phương trình.