Từ tính chất của tích bằng 0
Một tích bằng 0 khi và chỉ khi có ít nhất một thừa số bằng 0. Vì vậy, nếu một phương trình được đưa về dạng tích bằng 0 thì có thể giải bằng cách lần lượt cho từng thừa số bằng 0.
Cách giải phương trình tích
Để giải phương trình $(ax+b)(cx+d)=0$, ta giải hai phương trình $ax+b=0$ và $cx+d=0$, sau đó lấy tất cả các nghiệm tìm được. Nói cách khác:
$$AB=0\Leftrightarrow A=0\ \text{hoặc}\ B=0.$$
Cần đưa một vế về 0 trước khi dùng cách này. Từ $(x-1)(x+2)=6$ không thể kết luận $x-1=0$ hoặc $x+2=0$.
Ví dụ đã có dạng tích
Giải $(2x-6)(x+4)=0$.
Ta có $2x-6=0$ hoặc $x+4=0$. Phương trình đầu cho $x=3$, phương trình sau cho $x=-4$. Vậy nghiệm là $x=3$ và $x=-4$.
Thay $x=3$ thì thừa số đầu bằng 0; thay $x=-4$ thì thừa số sau bằng 0. Mỗi giá trị đều làm tích bằng 0.
Xét đầy đủ các trường hợp làm tích bằng 0
Phương trình $x(x-5)=0$ có những nghiệm nào?
Còn nghiệm $x=0$; không được chia cho x khi chưa biết x khác 0.
Đúng. Mỗi thừa số cho một nghiệm.
Thừa số $x-5$ cũng có thể bằng 0.
Thay $x=-5$ vào tích được 50, không bằng 0.
Lời giải
Tích bằng 0 khi $x=0$ hoặc $x-5=0$. Vì vậy phương trình có hai nghiệm $x=0$ và $x=5$. Chia hai vế cho x ngay từ đầu sẽ làm mất nghiệm $x=0$. Chọn B.
Đưa về dạng tích bằng nhân tử chung
Giải $x(x-2)+3(x-2)=0$.
Hai hạng tử cùng có nhân tử $x-2$, nên vế trái bằng $(x-2)(x+3)$. Ta được $(x-2)(x+3)=0$, suy ra $x=2$ hoặc $x=-3$.
Nếu khai triển ngay, ta vẫn có thể giải bằng phân tích đa thức, nhưng nhận ra nhân tử chung giúp phép tính ngắn hơn.
Chuyển về một vế trước khi phân tích
Giải $x^2-9=2x-6$.
Chuyển về vế trái: $x^2-2x-3=0$. Ta viết $-2x=x-3x$ rồi nhóm:
$$x(x+1)-3(x+1)=0.$$
Do đó $(x-3)(x+1)=0$, cho $x=3$ hoặc $x=-1$. Kiểm tra: với x=3, hai vế ban đầu cùng bằng 0; với x=-1, hai vế cùng bằng -8.
Phân tích rồi giải phương trình
Tập nghiệm của phương trình $x^2-4=3(x-2)$ là tập nào?
Còn nghiệm $x=1$ từ thừa số $x-1$.
$x=-2$ làm vế trái bằng 0 nhưng vế phải bằng -12 nên không phải nghiệm.
Đúng. Hai thừa số lần lượt cho $x=2$ và $x=1$.
$x=-1$ không làm tích $(x-2)(x-1)$ bằng 0.
Lời giải
Chuyển về một vế và phân tích:
$$x^2-4-3(x-2)=0.$$
Vì $x^2-4=(x-2)(x+2)$ nên
$$(x-2)(x+2)-3(x-2)=0$$
$$\Leftrightarrow (x-2)(x-1)=0.$$
Suy ra $x=2$ hoặc $x=1$. Vậy tập nghiệm là $\{1;2\}$. Chọn C.
Các bước giải
Trước hết, đưa phương trình về dạng $(ax+b)(cx+d)=0$. Sau đó giải từng phương trình $ax+b=0$, $cx+d=0$ và lấy tất cả các nghiệm. Chỉ được áp dụng tính chất tích bằng 0 khi một vế của phương trình đã bằng 0.
Đang học