Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Một giá trị tìm được chưa chắc là nghiệm

Biểu thức $\frac1{x-2}$ không xác định tại $x=2$. Vì vậy, trong một phương trình có mẫu $x-2$, giá trị $x=2$ phải bị loại ngay từ đầu. Điều kiện xác định cho biết những giá trị nào của ẩn được phép xét trước khi biến đổi phương trình.

Tìm điều kiện từ tất cả các mẫu

Điều kiện xác định là điều kiện để **mọi mẫu thức khác 0**. Với $\frac1{x-3}+\frac2{x+1}=0$, ta cần $x\ne3$ và $x\ne-1$. Tử số có thể bằng 0; mẫu số thì không. Nếu rút gọn được một phân thức, vẫn giữ các giá trị bị loại từ mẫu ban đầu.

Chọn điều kiện xác định

Phương trình $\frac{x}{x-2}=\frac1{x+3}$ có điều kiện xác định nào?

A$x\ne0$B$x\ne-2$ và $x\ne3$C$x\ne2$ và $x\ne-3$D$x>2$

Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

**Bước 1.** Tìm điều kiện xác định của phương trình. **Bước 2.** Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu. **Bước 3.** Giải phương trình vừa nhận được. **Bước 4.** Đối chiếu các giá trị tìm được với điều kiện xác định. Chỉ những giá trị thỏa mãn điều kiện mới là nghiệm của phương trình ban đầu. Trong phần này, phương trình sau khử mẫu đưa về bậc nhất. Ta dùng cách giải bậc nhất đã biết.

Một nghiệm thỏa điều kiện

Giải $\frac{x+2}{x-1}=3$. Điều kiện $x\ne1$. Nhân hai vế với x-1, ta được $x+2=3(x-1)$. Bỏ ngoặc: $x+2=3x-3$, nên $2x=5$ và $x=\frac52$. Giá trị này khác 1, nên được nhận. Thay lại: $\frac{\frac52+2}{\frac52-1}=\frac{9/2}{3/2}=3$. Vậy nghiệm là $x=\frac52$.

Khử mẫu khi có hai phân thức

Giải phương trình sau: $$\frac2{x-1}+\frac1{x+1}=\frac8{(x-1)(x+1)}.$$ Điều kiện $x\ne1,-1$. Quy đồng và khử mẫu chung, ta được $2(x+1)+(x-1)=8$, nên $3x+1=8$ và $x=\frac73$. Giá trị này thỏa điều kiện, nên là nghiệm. Ở bước khử mẫu, số 2 được nhân với x+1, số 1 được nhân với x-1; không được bỏ hai nhân tử phụ ấy.

Giá trị bị loại sau khi khử mẫu

Giải $\frac{x+1}{x-2}=\frac3{x-2}$. Điều kiện $x\ne2$. Khử mẫu, ta được $x+1=3$, nên x=2. Giá trị này làm mẫu ban đầu bằng 0, không thỏa điều kiện. Vậy phương trình **vô nghiệm**.

Giải và kiểm điều kiện xác định

Nghiệm của phương trình $\frac3{x+2}=\frac1{x-2}$ là giá trị nào?

A$x=-4$B$x=2$C$x=-2$D$x=4$

Điều kiện xác định phải được giữ đến cuối

Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, phải tìm điều kiện để tất cả các mẫu khác 0 trước khi khử mẫu. Sau khi giải phương trình mới, cần đối chiếu từng giá trị với điều kiện xác định rồi mới kết luận nghiệm.