Phương trình bậc hai và các dạng đặc biệt

Một số phương trình bậc hai có dạng đặc biệt

Phương trình bậc hai có dạng $ax^2+bx+c=0$ với $a\ne0$. Khi $b=0$ hoặc $c=0$, có thể giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích hoặc đưa một vế về bình phương của một biểu thức.

Nhận biết đúng dạng

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng $ax^2+bx+c=0$, với a,b,c là các số đã cho và a≠0. Hệ số b hoặc c có thể bằng 0. | Phương trình | a | b | c | |---|---|---|---| | 3x²−5x+2=0 | 3 | −5 | 2 | | 2x²−8=0 | 2 | 0 | −8 | | −4x²=0 | −4 | 0 | 0 | Cần chuyển phương trình về dạng có vế phải bằng 0 trước khi xác định các hệ số. Phương trình 0x²+3x−1=0 là bậc nhất, vì hệ số x² bằng 0.

Khi không có số hạng tự do

Giải 4x²−10x=0. Đặt x ra ngoài: x(4x−10)=0. Suy ra x=0 hoặc 4x−10=0, tức x=5/2. Vậy phương trình có hai nghiệm 0 và 5/2. Nếu chia ngay hai vế cho x, ta đã bỏ mất trường hợp x=0. Đặt nhân tử chung giúp giữ đủ nghiệm.

Khi không có số hạng bậc nhất

Giải 3x²−12=0. Ta được x²=4, nên x=2 hoặc x=−2. Với 3x²+12=0 thì x²=−4, không có nghiệm thực vì bình phương không âm. Với 3x²=0, chỉ có x=0.

Đưa vế trái về một bình phương

Hằng đẳng thức $(x+p)^2=x^2+2px+p^2$ cho biết cần thêm số nào. Muốn biến x²+6x thành một bình phương, ta thêm 9 vì 6=2·3 và 9=3². Phải thêm cùng một số vào cả hai vế để phương trình tương đương.

Giải bằng hằng đẳng thức

Giải x²+6x=7. Cộng 9 vào hai vế: $$x^2+6x+9=16\quad\Longleftrightarrow\quad(x+3)^2=16.$$ Do đó x+3=4 hoặc x+3=−4, suy ra x=1 hoặc x=−7. Thay lại: 1+6=7 và 49−42=7.

Giải hai phương trình dạng đặc biệt

Kết quả giải hai phương trình a) $5x^2+15x=0$; b) $(x-2)^2=7$ là:

Aa) $x=0$ hoặc $x=3$; b) $x=2+\sqrt7$.Ba) $x=0$ hoặc $x=-3$; b) $x=2\pm\sqrt7$.Ca) $x=-3$; b) $x=\pm\sqrt7-2$.Da) $x=0$ hoặc $x=-3$; b) $x=2+7$ hoặc $x=2-7$.

Điều kiện để là phương trình bậc hai

Với phương trình $mx^2-2x+1=0$, kết luận nào đúng?

APhương trình luôn là bậc hai; khi $m=0$ có nghiệm $x=0$.BPhương trình là bậc hai khi $m>0$; khi $m=0$ vô nghiệm.CPhương trình là bậc hai khi $m\ge0$; khi $m=0$ có nghiệm $x=-\frac12$.DPhương trình là bậc hai khi $m\ne0$; khi $m=0$ phương trình bậc nhất có nghiệm $x=\frac12$.

Cách giải các dạng đặc biệt

Với phương trình khuyết hạng tử tự do, đặt $x$ làm nhân tử chung rồi giải phương trình tích. Với phương trình khuyết hạng tử bậc nhất, đưa về dạng $x^2=k$. Một số phương trình khác có thể được giải bằng cách thêm cùng một số vào hai vế để vế trái trở thành một bình phương.