Ôn tập cuối năm: hình học, thống kê và xác suất

Cho tam giác $ABC$ nhọn; $D$, $E$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B$, $C$. Khi đó $$\widehat{BDC}=\widehat{BEC}=90^\circ.$$ Gọi $O$ là trung điểm của $BC$. Trong các tam giác vuông $BDC$ và $BEC$, trung điểm cạnh huyền cách đều ba đỉnh, nên $$OD=OB=OC,\qquad OE=OB=OC.$$ Suy ra $OB=OC=OD=OE$. Vậy bốn điểm $B$, $C$, $D$, $E$ cùng thuộc đường tròn tâm $O$, bán kính $\dfrac{BC}{2}$.

Một bình hình trụ có bán kính đáy trong $5$ cm và chiều cao trong $12$ cm. Dung tích của bình là $$V=\pi r^2h=\pi\cdot5^2\cdot12=300\pi\text{ cm}^3\approx942\text{ mL}.$$ Nếu nước chiếm $\dfrac34$ chiều cao của bình thì chiều cao cột nước là $9$ cm. Khi đó $$V_{\text{nước}}=\pi\cdot5^2\cdot9=225\pi\text{ cm}^3\approx707\text{ mL}.$$ Trong cùng một bình hình trụ, thể tích nước tỉ lệ với chiều cao cột nước.

Thời gian hoàn thành bài của 20 học sinh: | Phút | [0;10) | [10;20) | [20;30) | |---|---|---|---| | Tần số | 4 | 10 | 6 | Nhóm $[10;20)$ chiếm 50%. Có $6/20=30\%$ học sinh làm từ 20 phút đến dưới 30 phút. Không biết chính xác có bao nhiêu người làm đúng 15 phút từ bảng đã ghép nhóm.