Khai căn với phép nhân và phép chia

Mối liên hệ giữa phép khai căn và phép nhân, phép chia

Tính riêng $\sqrt{12}$ và $\sqrt3$ chỉ cho các giá trị gần đúng. Nếu dùng mối liên hệ giữa phép khai căn và phép nhân, ta có ngay $$\sqrt{12}\cdot\sqrt3=\sqrt{36}=6.$$ Các công thức dưới đây giúp biến đổi chính xác các tích và thương của căn bậc hai.

Căn của tích

Với $A\ge0$ và $B\ge0$: $$\sqrt A\sqrt B=\sqrt{AB}.$$ Ta dùng theo hai chiều: ghép hai căn thành một căn, hoặc tách một căn của tích thành các căn dễ tính. Phải có cả A và B không âm. Không tách $\sqrt{(-2)(-8)}$ thành $\sqrt{-2}\sqrt{-8}$ trong tập số thực, dù tích dưới căn ban đầu bằng 16.

Nhân rồi thu gọn

Tính $\sqrt2(\sqrt{18}+\sqrt8)$. Nhân phân phối: $\sqrt2\sqrt{18}+\sqrt2\sqrt8=\sqrt{36}+\sqrt{16}=6+4=10$. Dấu căn không có quy tắc phân phối qua phép cộng: $\sqrt{9+16}=5$, trong khi $\sqrt9+\sqrt{16}=7$.

Rút gọn căn của bình phương một biểu thức

Rút gọn $\sqrt{16a^2b^2}$ với $a\ge0$, $b<0$. Ta có $\sqrt{16a^2b^2}=4|a||b|$. Theo điều kiện, |a|=a và |b|=-b, nên kết quả là -4ab. Kết quả này không âm vì ab≤0.

Căn của thương

Với $A\ge0$ và $B>0$: $$\frac{\sqrt A}{\sqrt B}=\sqrt{\frac AB}.$$ B phải dương để căn ở mẫu vừa xác định vừa khác 0. Ví dụ $\sqrt{75}/\sqrt3=\sqrt{25}=5$.

Thương có biến

Với x>0, rút gọn $\frac{\sqrt{18x^3}}{\sqrt{2x}}$. Hai căn xác định và mẫu khác 0. Ghép thành căn của thương: $$\sqrt{\frac{18x^3}{2x}}=\sqrt{9x^2}=3|x|=3x.$$ Việc chia cho x được phép vì x>0, còn việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối cũng dùng chính điều kiện đó.

Chọn đẳng thức đúng

Đẳng thức nào đúng?

A$\sqrt5\sqrt{20}=10$B$\sqrt{5+20}=\sqrt5+\sqrt{20}$C$\sqrt{(-3)^2}=-3$D$\sqrt{16}/\sqrt0=4$

Kết hợp công thức tích và thương

Giá trị của $\frac{\sqrt{48}\sqrt3}{\sqrt4}$ là:

A12B3C24D6

Hai công thức cần nhớ

Với $A\ge0$, $B\ge0$, ta có $\sqrt A\sqrt B=\sqrt{AB}$. Với $A\ge0$, $B>0$, ta có $\dfrac{\sqrt A}{\sqrt B}=\sqrt{\dfrac AB}$. Khi xuất hiện căn bậc hai của một bình phương, tiếp tục dùng $\sqrt{A^2}=|A|$.