Phân biệt mặt cầu và hình cầu
Mặt cầu là phần bề mặt gồm các điểm cách tâm $O$ một khoảng bằng bán kính $R$. Hình cầu gồm mặt cầu và toàn bộ phần nằm bên trong. Vì vậy, bài toán sơn bề mặt dùng diện tích mặt cầu, còn bài toán về dung tích hoặc lượng vật liệu của khối dùng thể tích hình cầu.
Tạo hình và nhận biết mặt cắt
Khi quay một nửa đường tròn quanh đường kính cố định, ta được một mặt cầu. Khi quay nửa hình tròn cùng với phần bên trong quanh đường kính ấy, ta được một hình cầu. Tâm và bán kính của mặt cầu là tâm và bán kính của đường tròn ban đầu.
Một mặt phẳng cắt qua phần bên trong hình cầu tạo mặt cắt hình tròn. Nếu đi qua tâm, mặt cắt có bán kính R; đường biên là đường tròn lớn. Nếu không qua tâm, bán kính mặt cắt nhỏ hơn R. Mặt cắt phẳng không phải toàn bộ mặt cầu.
Hai công thức
Với bán kính R>0:
$$S=4\pi R^2,\qquad V=\frac43\pi R^3.$$
Diện tích dùng bình phương bán kính, thể tích dùng lập phương. Nếu đề cho đường kính d thì R=d/2.
Từ đường kính đến diện tích và thể tích
Một quả cầu đặc có đường kính $12$ cm nên $R=6$ cm. Do đó
$$S=4\pi\cdot6^2=144\pi\text{ cm}^2,$$
$$V=\frac43\pi\cdot6^3=288\pi\text{ cm}^3.$$
Nếu bán kính tăng gấp đôi thì diện tích mặt cầu tăng $2^2=4$ lần, còn thể tích hình cầu tăng $2^3=8$ lần.
Mặt cắt qua tâm
Một mặt cắt qua tâm có diện tích $49\pi\text{ cm}^2$. Khi đó
$$\pi R^2=49\pi\Rightarrow R=7\text{ cm}.$$
Diện tích mặt cầu là
$$S=4\pi\cdot7^2=196\pi\text{ cm}^2.$$
Số $49\pi\text{ cm}^2$ chỉ là diện tích của hình tròn tạo bởi mặt cắt qua tâm, không phải diện tích mặt cầu.
Nửa hình cầu
Một mô hình đặc có dạng nửa hình cầu bán kính $3$ cm. Thể tích của mô hình bằng một nửa thể tích hình cầu:
$$V=\frac12\cdot\frac43\pi\cdot3^3=18\pi\text{ cm}^3.$$
Diện tích phần mặt cong bằng $2\pi R^2=18\pi\text{ cm}^2$. Nếu tính toàn bộ bề mặt của mô hình, cần cộng thêm diện tích đáy tròn $9\pi\text{ cm}^2$, được $27\pi\text{ cm}^2$.
Cần phân biệt “mặt cong” với “toàn bộ bề mặt” của vật đã cắt đôi.
Tìm bán kính và thể tích hình cầu
Một hình cầu có diện tích mặt cầu $100\pi\text{ cm}^2$. Bán kính và thể tích hình cầu lần lượt là:
Đúng. Chỉ nhận bán kính dương và thể tích dùng lập phương bán kính.
Đã coi 100 là $R^2$ mà chưa chia cho 4.
Thể tích hình cầu có hệ số $\frac43$, không phải 4.
Giá trị 25 là $R^2$, không phải R.
Lời giải
Từ công thức diện tích mặt cầu:
$$4\pi R^2=100\pi\Rightarrow R^2=25.$$
Vì bán kính dương nên $R=5$ cm. Thể tích hình cầu là
$$V=\frac43\pi R^3=\frac43\pi\cdot125=\frac{500\pi}{3}\text{ cm}^3.$$
Chọn A.
Tính thể tích vật liệu còn lại
Một khối trụ đặc bán kính 3 cm, cao 6 cm được khoét ra một hình cầu bán kính 3 cm nằm vừa khít bên trong. Thể tích vật liệu còn lại là:
Đây là thể tích khối trụ trước khi khoét.
Đây là thể tích phần hình cầu đã bị lấy đi.
Đúng. Thể tích còn lại bằng thể tích trụ trừ thể tích cầu.
Đã cộng hai thể tích thay vì lấy phần còn lại.
Lời giải
Thể tích khối trụ ban đầu:
$$V_{trụ}=\pi\cdot3^2\cdot6=54\pi\text{ cm}^3.$$
Thể tích hình cầu bị khoét:
$$V_{cầu}=\frac43\pi\cdot3^3=36\pi\text{ cm}^3.$$
Vậy thể tích vật liệu còn lại là
$$54\pi-36\pi=18\pi\text{ cm}^3.$$
Chọn C.
Các công thức cần nhớ
Mặt cầu bán kính $R$ có diện tích $S=4\pi R^2$; hình cầu bán kính $R$ có thể tích $V=\dfrac43\pi R^3$. Mặt cắt đi qua tâm là một hình tròn bán kính $R$. Với vật thể ghép hoặc bị khoét, thể tích được tính bằng cách cộng hoặc trừ thể tích các phần; diện tích chỉ tính những mặt thực sự cần xét.
Đang học