Từ các tam giác đặc biệt đến bảng giá trị lượng giác
Tam giác vuông cân có hai góc nhọn $45^\circ$; đường cao của tam giác đều chia tam giác đó thành hai tam giác vuông có góc nhọn $30^\circ$ và $60^\circ$. Từ độ dài các cạnh của những tam giác này, ta suy ra các giá trị lượng giác của các góc $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$.
Góc 45° từ tam giác vuông cân
Tam giác vuông cân có hai cạnh góc vuông đều bằng 1 nên cạnh huyền bằng $\sqrt2$. Hai góc nhọn đều bằng $45^\circ$.
Do đó $\sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$, còn $\tan45^\circ=\cot45^\circ=1$.
Góc 30° và 60° từ tam giác đều
Tam giác đều cạnh 2 được chia bởi đường cao thành hai tam giác vuông. Mỗi tam giác có cạnh huyền 2, một cạnh góc vuông 1 và cạnh còn lại $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$.
Cạnh 1 đối diện góc $30^\circ$, nên $\sin30^\circ=\dfrac12$; cạnh $\sqrt3$ kề góc $30^\circ$, nên $\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$. Với góc $60^\circ$, vai trò hai cạnh đổi chỗ.
Bảng giá trị cần nhớ
| Góc | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ |
|---|---|---|---|
| sin | $1/2$ | $\sqrt2/2$ | $\sqrt3/2$ |
| cos | $\sqrt3/2$ | $\sqrt2/2$ | $1/2$ |
| tan | $\sqrt3/3$ | $1$ | $\sqrt3$ |
| cot | $\sqrt3$ | $1$ | $\sqrt3/3$ |
Hai góc phụ nhau
Hai góc nhọn α, β có tổng 90° thì:
$$\sin\alpha=\cos\beta,\quad\cos\alpha=\sin\beta.$$
$$\tan\alpha=\cot\beta,\quad\cot\alpha=\tan\beta.$$
Có thể coi chúng là hai góc nhọn của cùng một tam giác vuông. Cạnh đối với góc này là cạnh kề với góc kia, nên các tỉ số tương ứng bằng nhau. Chẳng hạn, $\sin25^\circ=\cos65^\circ$ và $\tan38^\circ=\cot52^\circ$.
Tính tỉ số hoặc tìm góc
Đặt máy ở đơn vị **độ (DEG)** trước khi tính góc cho bằng độ. Chẳng hạn, $\sin40^\circ\approx0{,}6428$, làm tròn đến ba chữ số thập phân được $0{,}643$.
Nếu biết $\sin\alpha=0{,}6$ với $\alpha$ là góc nhọn, dùng chức năng tìm góc từ sin (thường kí hiệu $\sin^{-1}$) cho $\alpha\approx36{,}87^\circ$. Chức năng này tìm góc, không phải lấy $1/\sin\alpha$.
Để tính $\cot\alpha$, có thể tính $1/\tan\alpha$. Vì $1^\circ=60'$, ta có $30^\circ30'=30{,}5^\circ$, không phải $30{,}30^\circ$. Chỉ làm tròn ở bước kết quả.
Chọn góc phụ
$\sin32^\circ$ bằng:
Đúng. Sin của một góc bằng côsin của góc phụ với nó.
Hai góc cùng bằng 32° không phụ nhau.
Khi chuyển sang góc phụ cần đổi sin thành cos.
Tang là một tỉ số khác.
Lời giải
Vì $32^\circ+58^\circ=90^\circ$ nên $\sin32^\circ=\cos58^\circ$. Chọn A.
Tính bằng giá trị chính xác
Giá trị của $2\sin30^\circ+\tan45^\circ-\cos60^\circ$ là:
Phương án này bỏ sót giá trị $\tan45^\circ=1$.
Đúng. Biểu thức có giá trị chính xác bằng $\frac32$.
Đã bỏ phép trừ $\cos60^\circ=\frac12$.
Đã cộng thay vì trừ giá trị $\cos60^\circ$.
Lời giải
Thay các giá trị lượng giác đặc biệt:
$$2\sin30^\circ+\tan45^\circ-\cos60^\circ
=2\cdot\frac12+1-\frac12=\frac32.$$
Chọn B.
Tìm góc nhọn và góc phụ
Góc nhọn $\alpha$ có $\tan\alpha=1$. Góc $\alpha$ và góc phụ của nó lần lượt bằng:
$\tan30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$, không bằng 1.
$\tan60^\circ=\sqrt3$, không bằng 1.
Đúng. Góc 45° phụ với chính nó.
Hai góc phụ nhau phải có tổng bằng 90°, không phải 180°.
Lời giải
Từ bảng giá trị, $\tan45^\circ=1$, nên $\alpha=45^\circ$. Góc phụ của $\alpha$ bằng
$$90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$
Chọn C.
Kiến thức cần nhớ
Bảng giá trị lượng giác của các góc $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ được suy ra từ tam giác vuông cân và nửa tam giác đều. Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia. Khi dùng máy tính, cần đặt đúng đơn vị góc là độ.
Đang học