Tính cạnh và góc trong tam giác vuông
Nếu biết hai cạnh hoặc biết một cạnh và một góc nhọn của tam giác vuông, có thể dùng định lí Pythagore và các tỉ số lượng giác để tìm các cạnh, các góc còn lại. Công việc đó được gọi là giải tam giác vuông.
Các hệ thức giữa cạnh và góc
Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, xét góc $B$:
$$AC=BC\sin B=AB\tan B.$$
$$AB=BC\cos B=AC\cot B.$$
Các công thức suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Chẳng hạn, từ $\sin B=\dfrac{AC}{BC}$ suy ra $AC=BC\sin B$.
Như vậy, trong tam giác vuông:
- Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc côsin góc kề.
- Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc côtang góc kề.
Biết cạnh huyền và một góc
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $BC=10$ cm và $\widehat B=30^\circ$. Khi đó $\widehat C=60^\circ$.
Vì $AC$ đối diện góc $B$ nên
$$AC=10\sin30^\circ=5\text{ cm}.$$
Vì $AB$ kề góc $B$ nên
$$AB=10\cos30^\circ=5\sqrt3\text{ cm}.$$
Như vậy, các cạnh và góc còn lại của tam giác đã được xác định.
Biết hai cạnh góc vuông
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $AB=7$ cm, $AC=9$ cm. Theo định lí Pythagore,
$$BC=\sqrt{7^2+9^2}=\sqrt{130}\approx11{,}40\text{ cm}.$$
Đối với góc $B$, ta có $\tan B=\dfrac97$. Dùng máy tính ở đơn vị độ, được
$$\widehat B\approx52{,}13^\circ,\qquad \widehat C=90^\circ-\widehat B\approx37{,}87^\circ.$$
Chỉ làm tròn ở kết quả cuối để hạn chế sai số.
Đo chiều cao có tính đến máy ngắm
Trên mặt đất nằm ngang, máy ngắm đặt tại M cao 1,5 m, cách chân cột 12 m theo phương ngang. Góc giữa tia ngắm đỉnh cột và phương ngang là 35°. Cột thẳng đứng. Tính chiều cao cột, làm tròn đến 0,1 m.
Gọi $H$ là điểm trên cột ngang với máy $M$, $T$ là đỉnh cột. Tam giác $MHT$ vuông tại $H$ có $MH=12$ m. Do đó
$$HT=12\tan35^\circ\approx8{,}4025\text{ m}.$$
Độ dài $HT$ mới là phần chiều cao tính từ tầm máy ngắm đến đỉnh cột.
Vậy chiều cao của cột là
$$1{,}5+HT\approx9{,}9\text{ m}.$$
Tính khoảng cách qua tam giác vuông
Hai điểm $A$, $B$ nằm trên một bờ thẳng và $AB=20$ m. Điểm $C$ ở phía bên kia sao cho $AC\perp AB$. Đo được $\widehat{ABC}=40^\circ$. Khi đó tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và $AC$ là cạnh đối của góc $B$.
Ta có
$$AC=AB\tan B=20\tan40^\circ\approx16{,}8\text{ m}.$$
Điều kiện $AC\perp AB$ cho phép áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.
Chọn công thức từ hình
Tam giác ABC vuông tại A, biết AB và góc B. Muốn tìm cạnh huyền BC, công thức nào đúng?
Đúng. Công thức được suy ra trực tiếp từ định nghĩa côsin.
Nhân với $\cos B<1$ sẽ cho một độ dài nhỏ hơn AB, không thể là cạnh huyền.
AB là cạnh kề của góc B, không phải cạnh huyền trong công thức sin này.
$AB\tan B$ cho cạnh đối AC, không phải cạnh huyền BC.
Lời giải
Đối với góc B, AB là cạnh kề và BC là cạnh huyền, nên
$$\cos B=\frac{AB}{BC}\Rightarrow BC=\frac{AB}{\cos B}.$$
Vì $0<\cos B<1$, kết quả cũng cho $BC>AB$, phù hợp với cạnh huyền. Chọn A.
Bài toán chiếc thang
Một chiếc thang dài 4 m dựa vào tường thẳng đứng và tạo với mặt đất nằm ngang góc $60^\circ$. Độ cao đầu thang và khoảng cách từ chân thang đến tường lần lượt là:
Hai đại lượng đã bị đổi chỗ cho nhau.
Độ cao không thể lớn hơn cạnh huyền dài 4 m.
Khoảng cách ngang phải bằng $4\cos60^\circ=2$ m, không phải 4 m.
Đúng. Độ cao dùng sin và khoảng cách ngang dùng cos của góc 60°.
Lời giải
Tường và mặt đất vuông góc, còn chiếc thang là cạnh huyền dài 4 m. Độ cao đầu thang là cạnh đối với góc 60°:
$$4\sin60^\circ=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\text{ m}.$$
Khoảng cách từ chân thang đến tường là cạnh kề:
$$4\cos60^\circ=4\cdot\frac12=2\text{ m}.$$
Chọn D.
Giải thích hệ thức cạnh và góc
Trong tam giác ABC vuông tại A, lập luận nào suy ra đúng đồng thời $AC=AB\tan B$ và $AC=BC\cos C$?
Cả hai tỉ số đều bị lấy nghịch đảo.
Đúng. Hai định nghĩa dẫn trực tiếp đến hai hệ thức cần chứng minh.
Tang không dùng cạnh huyền; côsin phải dùng cạnh kề chia cạnh huyền.
Cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền đã được xác định sai cho cả hai góc.
Lời giải
Đối với góc B, cạnh đối là AC và cạnh kề là AB:
$$\tan B=\frac{AC}{AB}\Rightarrow AC=AB\tan B.$$
Đối với góc C, cạnh kề là AC và cạnh huyền là BC:
$$\cos C=\frac{AC}{BC}\Rightarrow AC=BC\cos C.$$
Chọn B.
Cách giải một bài toán tam giác vuông
Trước hết, vẽ hình và xác định góc vuông, cạnh đã biết, góc đã biết và đại lượng cần tìm. Sau đó chọn hệ thức lượng có chứa các đại lượng ấy, tính các cạnh hoặc góc còn lại và làm tròn theo yêu cầu. Với bài toán đo đạc, cần phân biệt khoảng cách nằm ngang với độ dài tia ngắm và tính thêm chiều cao của dụng cụ nếu có.
Đang học