Đưa hệ hai ẩn về phương trình một ẩn
Xét một hệ có phương trình $x=y+2$. Trong phương trình còn lại, có thể thay $x$ bằng $y+2$. Khi đó, hệ hai ẩn được đưa về một phương trình chỉ còn ẩn $y$. Cách giải như vậy được gọi là phương pháp thế.
Cách giải bằng phương pháp thế
Để giải một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, thực hiện hai bước:
1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại. Khi đó nhận được một phương trình chỉ còn một ẩn.
2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, sau đó tìm ẩn còn lại và kết luận nghiệm của hệ.
Nên chọn phương trình giúp biểu diễn một ẩn thuận tiện, thường là phương trình có hệ số $1$ hoặc $-1$. Sau khi tìm được cặp số, có thể thay vào cả hai phương trình ban đầu để kiểm tra.
Một hệ có nghiệm duy nhất
Giải hệ $\begin{cases}x-y=2\\2x+y=13.\end{cases}$
Từ phương trình đầu, $x=y+2$. Thế vào phương trình thứ hai:
$$2(y+2)+y=13.$$
Bỏ ngoặc và thu gọn, ta được $3y+4=13$, nên $3y=9$ và $y=3$. Khi đó $x=3+2=5$.
Kiểm tra: $5-3=2$ và $2\cdot5+3=13$. Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(5;3)$, trong đó hoành độ được viết trước tung độ.
Chọn phương trình sau khi thế
Với hệ $\begin{cases}x=2y-1\\3x+y=11,\end{cases}$ thế biểu thức của x vào phương trình thứ hai được phương trình nào?
Đúng. Toàn bộ biểu thức $2y-1$ thay cho x và được đặt trong ngoặc.
Số 3 phải nhân với cả hai hạng tử của $2y-1$.
Biểu thức $2y-1$ thay cho x, không thay cho y.
Cần thế vào phương trình thứ hai để kết hợp hai điều kiện của hệ.
Lời giải
Vì $x=2y-1$ nên $3x=3(2y-1)$. Phương trình sau khi thế là $3(2y-1)+y=11$. Chọn A.
Giải hệ bằng phương pháp thế
Nghiệm của hệ $\begin{cases}x=2y-1\\3x+y=11\end{cases}$ là cặp số nào?
Phương án này đảo thứ tự x và y.
Đúng. Thay lại cho $3=2\cdot2-1$ và $3\cdot3+2=11$.
Cặp số này không thỏa mãn phương trình thứ hai.
Cặp $(1;1)$ thỏa mãn phương trình thứ nhất nhưng không thỏa mãn phương trình thứ hai.
Lời giải
Thế $x=2y-1$ vào phương trình thứ hai:
$$3(2y-1)+y=11\Rightarrow 7y=14\Rightarrow y=2.$$
Khi đó $x=2\cdot2-1=3$. Vậy nghiệm của hệ là $(3;2)$. Chọn B.
Khi phép thế dẫn đến điều vô lí
Xét hệ $\begin{cases}x-y=2\\2x-2y=7.\end{cases}$ Từ phương trình đầu, $x=y+2$. Thế vào phương trình thứ hai:
$$2(y+2)-2y=7,$$
nên $4=7$. Không giá trị nào của $y$ làm điều này đúng. Vì vậy hệ **vô nghiệm**. Đây là một kết luận của việc giải hệ, không phải lý do để chọn tùy ý một giá trị cho ẩn.
Khi hai phương trình cho cùng một điều kiện
Xét hệ $\begin{cases}x-y=2\\2x-2y=4.\end{cases}$ Thế $x=y+2$ vào phương trình thứ hai, ta được $4=4$, đúng với mọi $y$.
Tuy nhiên, $x$ vẫn phải bằng $y+2$ theo phương trình đầu. Do đó hệ có **vô số nghiệm** $(y+2;y)$ với $y\in\mathbb R$. Không được kết luận mọi cặp $(x;y)$ đều là nghiệm: chẳng hạn $(0;0)$ không thỏa mãn phương trình đầu.
Kết luận khi xuất hiện đẳng thức luôn đúng
Giải hệ $\begin{cases}y=3x+1\\6x-2y=-2.\end{cases}$ Kết luận nào đúng?
Cặp $(0;1)$ chỉ là một trong vô số nghiệm.
Phép thế cho một đẳng thức luôn đúng, không phải đẳng thức vô lí.
Đúng. Mỗi số thực x xác định một nghiệm $(x;3x+1)$.
Các cặp nghiệm vẫn phải thỏa mãn quan hệ $y=3x+1$.
Lời giải
Thế $y=3x+1$ vào phương trình thứ hai:
$$6x-2(3x+1)=-2\Rightarrow -2=-2.$$
Đẳng thức đúng với mọi x, nhưng vẫn phải giữ điều kiện $y=3x+1$. Vì vậy hệ có vô số nghiệm $(x;3x+1)$ với $x\in\mathbb R$. Chọn C.
Kiến thức cần nhớ
Phương pháp thế dùng một phương trình để biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thay vào phương trình còn lại. Nếu phương trình một ẩn nhận được có một nghiệm, hệ có một nghiệm tương ứng. Nếu phép biến đổi dẫn đến một đẳng thức vô lí, hệ vô nghiệm; nếu dẫn đến một đẳng thức luôn đúng, hệ có vô số nghiệm và các nghiệm vẫn phải thỏa mãn quan hệ giữa hai ẩn.
Đang học