Khử một ẩn bằng phép cộng hoặc phép trừ
Xét hai phương trình có các hạng tử $y$ và $-y$. Khi cộng từng vế hai phương trình, hai hạng tử này triệt tiêu và ta nhận được một phương trình chỉ còn ẩn $x$. Đó là ý tưởng của phương pháp cộng đại số.
Cộng khi hệ số đối nhau
Giải hệ $\begin{cases}2x+y=11\\3x-y=9.\end{cases}$
Hai hệ số của $y$ là $1$ và $-1$. Cộng từng vế hai phương trình, ta được $5x=20$, nên $x=4$. Thế vào phương trình đầu: $8+y=11$, nên $y=3$.
Kiểm tra phương trình thứ hai: $3\cdot4-3=9$. Vậy nghiệm là $(4;3)$. Ta vẫn dùng lại một phương trình ban đầu để tìm y; riêng $5x=20$ chưa mô tả đủ nghiệm của hệ.
Trừ khi hai hệ số bằng nhau
Nếu hệ số của cùng một ẩn bằng nhau, lấy phương trình này trừ phương trình kia sẽ khử ẩn đó. Chẳng hạn với $\begin{cases}3x+2y=12\\x+2y=6,\end{cases}$ lấy vế của phương trình đầu trừ vế tương ứng của phương trình sau, ta có $2x=6$.
Khi trừ, phải trừ **cả biểu thức**: $(3x+2y)-(x+2y)=12-6$. Dấu trừ tác động lên mọi hạng tử trong ngoặc sau.
Tạo hệ số phù hợp trước khi cộng
Giải hệ $\begin{cases}2x+3y=13\\3x-2y=0.\end{cases}$
Muốn khử y, ta tạo hai hệ số $6$ và $-6$. Nhân cả hai vế của phương trình đầu với 2, phương trình sau với 3:
$$\begin{cases}4x+6y=26\\9x-6y=0.\end{cases}$$
Cộng từng vế: $13x=26$, nên $x=2$. Thế $x=2$ vào $3x-2y=0$, ta được $6-2y=0$, nên $y=3$. Kiểm lại $2\cdot2+3\cdot3=13$. Hệ có nghiệm $(2;3)$.
Số nhân được chọn để khử ẩn, và phải khác 0. Nhân một phương trình với 0 sẽ làm mất điều kiện của phương trình đó.
Chọn cách khử y
Với $\begin{cases}2x+3y=8\\5x+2y=9,\end{cases}$ cách biến đổi nào khử được y?
Phép cộng tạo thành $12y$, chưa khử được y.
Đúng. Hai hệ số của y cùng bằng 6 nên phép trừ làm mất y.
Hai hệ số 3 và 2 chưa đối nhau nên cộng ngay không khử được y.
Nhân một hạng tử làm thay đổi phương trình; phải nhân toàn bộ hai vế.
Lời giải
Nhân cả hai vế của phương trình đầu với 2 và phương trình sau với 3, hệ số của y đều bằng 6. Trừ từng vế sẽ khử được y. Chọn B.
Tìm nghiệm sau khi khử một ẩn
Nghiệm của hệ $\begin{cases}2x+3y=8\\5x+2y=9\end{cases}$ là cặp số nào?
Với $(2;1)$, vế trái phương trình thứ nhất bằng $2\cdot2+3\cdot1=7\ne8$.
Với $(-1;2)$, vế trái phương trình thứ nhất bằng $2\cdot(-1)+3\cdot2=4\ne8$.
Với $(1;-2)$, vế trái phương trình thứ nhất bằng $2\cdot1+3\cdot(-2)=-4\ne8$.
Đúng. Cặp $(1;2)$ thỏa mãn cả hai phương trình.
Lời giải
Nhân phương trình đầu với 2 và phương trình sau với 3:
$$\begin{cases}4x+6y=16\\15x+6y=27.\end{cases}$$
Lấy phương trình đầu trừ phương trình sau, được $-11x=-11$, nên $x=1$. Thế vào $2x+3y=8$:
$$2+3y=8\Rightarrow y=2.$$
Vậy nghiệm của hệ là $(1;2)$. Chọn D.
Nhận biết hệ vô nghiệm và hệ có vô số nghiệm
Với hệ $\begin{cases}x+2y=5\\2x+4y=12,\end{cases}$ nhân phương trình đầu với 2 rồi trừ phương trình sau, ta được $0=-2$, vô lí. Hệ vô nghiệm.
Nếu vế phải thứ hai là 10, phép trừ cho $0=0$. Khi đó hai phương trình cùng yêu cầu $x+2y=5$, nên hệ có vô số nghiệm $(5-2y;y)$ với $y$ tùy ý.
Dùng máy tính cầm tay để kiểm tra
Với máy hỗ trợ giải hệ, chọn chức năng giải hệ tuyến tính hai ẩn. Tên và vị trí phím tùy loại máy; điều cần giữ đúng là bảng hệ số.
Ví dụ hệ $\begin{cases}2x+3y=13\\3x-2y=0\end{cases}$ có bảng nhập:
| Phương trình | Hệ số x | Hệ số y | Vế phải |
|---|---|---|---|
| Thứ nhất | 2 | 3 | 13 |
| Thứ hai | 3 | -2 | 0 |
Nhập đúng dấu âm và cả hệ số 0 nếu có. Máy cho $x=2,y=3$; ta thay lại hệ để kiểm. Nếu máy báo “No-Solution” thì hệ vô nghiệm; nếu máy báo “Infinite Sol” thì hệ có vô số nghiệm. Khi đề yêu cầu giải bằng cộng đại số, lời giải vẫn cần trình bày các bước nhân, khử ẩn và tìm nghiệm.
Cách thực hiện
Nếu hệ số của cùng một ẩn đối nhau, cộng từng vế hai phương trình; nếu chúng bằng nhau, trừ từng vế. Khi các hệ số chưa bằng nhau hoặc đối nhau, nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp rồi thực hiện phép cộng hoặc phép trừ. Sau khi tìm được một ẩn, thay vào một phương trình của hệ để tìm ẩn còn lại.
Đang học