Một đa giác đều cần đủ hai điều kiện
Hình vuông có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau nên là một đa giác đều. Hình thoi chỉ chắc chắn có các cạnh bằng nhau; nếu các góc không bằng nhau thì không phải đa giác đều.
Đa giác đều và tâm
Đa giác đều là đa giác lồi có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau. Các đỉnh nằm trên một đường tròn; tâm đường tròn là tâm của đa giác.
Nối tâm với các đỉnh liên tiếp của đa giác đều n cạnh, các góc ở tâm bằng nhau và có tổng 360°, nên mỗi góc bằng 360°/n.
Lục giác đều
Lục giác đều có góc ở tâm giữa hai đỉnh liên tiếp bằng 360°/6=60°. Tam giác tạo bởi tâm O và hai đỉnh liên tiếp có hai cạnh là bán kính, góc xen giữa 60°, nên là tam giác đều. Vì thế cạnh lục giác bằng bán kính ngoại tiếp.
Mỗi góc trong của lục giác gồm hai góc 60° từ hai tam giác kề nhau, bằng 120°. Nếu bán kính 4 cm, chu vi lục giác là 6·4=24 cm.
Mô tả một phép quay
Một phép quay cần tâm O, góc quay và chiều quay. Điểm A khác O chuyển thành A′ sao cho OA′=OA và tia OA quay đúng góc, đúng chiều để đến OA′. O giữ nguyên.
Quay 180° biến A thành điểm đối xứng của A qua O. Quay 0° hoặc 360° giữ nguyên mọi điểm. Hai chiều quay phải được phân biệt khi góc không phải 0°,180° hay 360°.
Quay hình vuông
Các đỉnh A,B,C,D của hình vuông được ghi theo chiều kim đồng hồ. Quay 90° thuận chiều kim đồng hồ quanh tâm biến A→B, B→C, C→D, D→A. Toàn bộ hình vuông trùng với hình ban đầu, dù từng đỉnh chuyển chỗ.
Các góc quay thuận chiều lớn hơn 0° và không quá 360° giữ nguyên hình vuông là 90°,180°,270°,360°. Quay 45° không đưa các đỉnh về các đỉnh ban đầu.
Góc quay của đa giác đều
Quay quanh tâm một góc 360°/n theo một chiều sẽ đưa mỗi đỉnh sang đỉnh kế tiếp của đa giác đều n cạnh. Các góc là bội của 360°/n cũng giữ nguyên hình.
Ví dụ tam giác đều: 120°,240°,360°. Lục giác đều: 60°,120°,180°,240°,300°,360° trong khoảng lớn hơn 0° đến 360°. “Giữ nguyên hình” không có nghĩa giữ nguyên từng điểm.
Tìm bước quay cơ bản
Đa giác đều 8 cạnh có góc ở tâm giữa hai đỉnh liên tiếp và góc quay dương nhỏ nhất quanh tâm giữ nguyên hình lần lượt bằng:
Bước quay nhỏ nhất cũng chính là góc ở tâm giữa hai đỉnh liên tiếp, không phải 90°.
Đúng. Quay 45° đưa mỗi đỉnh sang đỉnh kế tiếp.
Góc ở tâm giữa hai đỉnh liên tiếp không phải 90°.
Cả hai giá trị đều đã bị tính gấp đôi.
Lời giải
Góc ở tâm giữa hai đỉnh liên tiếp bằng
$$\frac{360^\circ}{8}=45^\circ.$$
Quay 45° quanh tâm đưa mỗi đỉnh sang đỉnh kế tiếp, nên hình trùng với chính nó. Không có góc dương nhỏ hơn thực hiện được điều đó. Vì vậy cả hai góc đều bằng 45°. Chọn B.
Kiểm tra đủ điều kiện của đa giác đều
Một hình chữ nhật dài 6 cm, rộng 4 cm và một hình thoi có một góc $60^\circ$ có phải là đa giác đều không?
Có một cặp cạnh bằng nhau chưa đủ; phải có tất cả các cạnh và tất cả các góc bằng nhau.
Hình chữ nhật đã cho có hai độ dài cạnh khác nhau nên không đều.
Đúng. Mỗi hình thiếu một trong hai điều kiện của đa giác đều.
Hình thoi đã cho có hai loại góc $60^\circ$ và $120^\circ$, nên không đều.
Lời giải
Đa giác đều phải có đồng thời tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.
Hình chữ nhật $6\text{ cm}\times4\text{ cm}$ có bốn góc bằng nhau nhưng các cạnh không cùng độ dài. Hình thoi có các cạnh bằng nhau nhưng nếu một góc bằng 60° thì góc kề bằng 120°, nên các góc không bằng nhau. Vì vậy cả hai hình đều không phải đa giác đều. Chọn C.
Kiến thức cần nhớ
Đa giác đều là đa giác lồi có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau. Với đa giác đều $n$ cạnh, góc ở tâm chắn một cạnh bằng $\dfrac{360^\circ}{n}$. Phép quay quanh tâm với góc $\dfrac{360^\circ}{n}$ đưa mỗi đỉnh tới đỉnh kế tiếp và làm đa giác trùng với chính nó.
Đang học