Có thể có cả một khoảng giá trị phù hợp
Có 90 nghìn đồng để mua một món đồ giá 18 nghìn đồng và một số quyển vở, mỗi quyển giá 8 nghìn đồng. Gọi $x$ là số quyển vở có thể mua, với $x$ là số nguyên không âm. Vì tổng số tiền không vượt quá 90 nghìn đồng nên
$$18+8x\le90.$$
Khác với phương trình, bất phương trình này có thể có nhiều giá trị của $x$ cùng thỏa mãn.
Bất phương trình bậc nhất một ẩn và nghiệm
Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax+b<0$ hoặc $ax+b>0$, $ax+b\le0$, $ax+b\ge0$, trong đó $a,b$ là các số đã cho và $a\ne0$.
Một số là nghiệm nếu thay vào bất phương trình cho một khẳng định đúng. Ví dụ, với $2x-6<0$, số $1$ là một nghiệm vì $2\cdot1-6=-4<0$; số $3$ không phải là nghiệm vì $2\cdot3-6=0<0$ là khẳng định sai.
Giải bất phương trình là tìm **tất cả** nghiệm, không chỉ thử vài số.
Chia cho số dương
Giải $3x+4\le19$.
Trừ 4 ở hai vế: $3x\le15$. Chia hai vế cho 3>0, giữ chiều, được $x\le5$. Vậy tất cả số thực không lớn hơn 5 là nghiệm. Giá trị x=5 được nhận vì dấu ban đầu cho phép bằng.
Chia cho số âm
Giải $-4x+3>11$.
Trừ 3 ở hai vế: $-4x>8$. Chia hai vế cho -4<0 và đổi chiều, được $x<-2$.
Thử x=-3: vế trái bằng 15>11, đúng. Thử x=-2: vế trái bằng 11, không lớn hơn 11, nên giá trị biên -2 không được nhận.
Chọn tập nghiệm
Bất phương trình $-3x\le12$ có tập nghiệm nào?
Chia cho số âm phải đổi chiều.
$12:(-3)=-4$, không phải 4.
Cần đổi chiều và giữ dấu bằng.
Đúng. Tập nghiệm gồm mọi số thực không nhỏ hơn -4.
Lời giải
Chia hai vế cho $-3<0$ phải đổi chiều:
$$x\ge\frac{12}{-3}=-4.$$
Dấu ban đầu có dấu bằng nên $x=-4$ được nhận. Chọn D.
Đưa các hạng tử chứa ẩn về cùng một vế
Giải $2(x+1)>5x-7$.
Bỏ ngoặc: $2x+2>5x-7$. Trừ 5x rồi trừ 2 ở cả hai vế, được $-3x>-9$. Chia cho -3 và đổi chiều: $x<3$.
Việc chuyển hạng tử là cách viết gọn của phép cộng hoặc trừ cùng một biểu thức ở cả hai vế.
Trả lời số lượng nhiều nhất
Quay lại bài mua đồ: $18+8x\le90$. Trừ 18 rồi chia 8, ta được $x\le9$.
Số vở là số nguyên không âm, nên mua được nhiều nhất 9 quyển. Khi mua 9 quyển, số tiền là $18+8\cdot9=90$ nghìn đồng; mua 10 quyển sẽ cần 98 nghìn, vượt số tiền có.
Nếu kết quả là x≤9,4 thì số vở nhiều nhất vẫn là 9; ta dùng điều kiện nguyên, không làm tròn lên thành 10.
Giải bất phương trình
Tập nghiệm của bất phương trình $5-2x\ge x-7$ là tập nào?
Phép chia cho -3 phải đổi chiều.
Đúng. Tập nghiệm gồm mọi số thực không lớn hơn 4.
Dấu ban đầu có dấu bằng nên $x=4$ phải được nhận.
Sai cả chiều và giá trị biên.
Lời giải
Chuyển các hạng tử chứa x về một vế:
$$5-2x\ge x-7\Rightarrow -3x\ge-12.$$
Chia hai vế cho $-3<0$ và đổi chiều, được $x\le4$. Tại $x=4$, hai vế ban đầu đều bằng -3 nên giá trị biên được nhận. Chọn B.
Tìm số tuần ít nhất
Có sẵn 35 nghìn đồng và mỗi tuần để dành thêm 12 nghìn đồng. Cần ít nhất 100 nghìn đồng để mua sách. Giả sử không chi khoản tiền đang để dành, sau ít nhất bao nhiêu tuần thì đủ tiền?
Đúng. Sáu là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn $65/12$.
Sau 5 tuần chỉ có 95 nghìn đồng, chưa đủ.
Bảy tuần đủ tiền nhưng chưa phải số tuần ít nhất.
Dữ kiện đã đủ để lập bất phương trình và tìm số tuần ít nhất.
Lời giải
Gọi n là số tuần, $n$ là số nguyên không âm. Điều kiện đủ tiền là
$$35+12n\ge100\Rightarrow 12n\ge65\Rightarrow n\ge\frac{65}{12}.$$
Vì $5<\frac{65}{12}<6$, số nguyên nhỏ nhất phù hợp là 6. Sau 5 tuần có 95 nghìn đồng, chưa đủ; sau 6 tuần có 107 nghìn đồng, đủ. Chọn A.
Giải và vận dụng bất phương trình
Dùng các tính chất của bất đẳng thức để đưa bất phương trình về dạng $x<m$, $x>m$, $x\le m$ hoặc $x\ge m$. Khi chia hai vế cho một số âm, phải đổi chiều dấu. Trong bài toán thực tế, còn phải đối chiếu nghiệm với điều kiện của đại lượng, chẳng hạn số lượng phải là số nguyên không âm.
Đang học