Nhóm để tạo nhân tử chung
Phương pháp nhóm hạng tử sắp xếp các hạng tử thành từng nhóm sao cho sau khi đặt nhân tử chung ở mỗi nhóm, các nhóm xuất hiện cùng một nhân tử.
Ví dụ:
$$\begin{aligned}
x^2+3x+2x+6
&=(x^2+3x)+(2x+6)\\
&=x(x+3)+2(x+3)\\
&=(x+2)(x+3).
\end{aligned}$$
Việc nhóm không tùy ý: mục đích là tạo ra nhân tử chung $x+3$.
Chú ý dấu khi nhóm
Nếu trước ngoặc là dấu trừ, mọi hạng tử trong ngoặc phải đổi dấu. Chẳng hạn,
$$\begin{aligned}
2x^2-4xy+2y-x
&=(2x^2-4xy)+(2y-x)\\
&=2x(x-2y)-(x-2y)\\
&=(2x-1)(x-2y).
\end{aligned}$$
Ở bước thứ hai, $2y-x=-(x-2y)$. Viết đúng dấu này mới tạo được cùng nhân tử $x-2y$.
Có thể có nhiều cách nhóm
Một đa thức có thể được nhóm theo nhiều cách. Nếu cách nhóm đang thử không tạo được nhân tử chung, cần đổi cách ghép các hạng tử.
Với $xy+xz+y^2+yz$, có thể nhóm:
$$x(y+z)+y(y+z)=(x+y)(y+z).$$
Cũng có thể sắp xếp lại rồi nhóm thành $y(x+y)+z(x+y)$, kết quả vẫn là $(x+y)(y+z)$.
Phối hợp các phương pháp
Một bài có thể cần nhiều hơn một phương pháp. Trình tự quan sát thường hữu ích:
1. kiểm tra nhân tử chung của toàn đa thức;
2. nhận dạng hằng đẳng thức;
3. thử nhóm các hạng tử để tạo nhân tử chung;
4. kiểm tra các nhân tử vừa thu được còn phân tích được hay không.
Đây là cách quan sát, không phải khuôn bắt buộc cho mọi bài.
Ví dụ: đặt chung rồi dùng hằng đẳng thức
Phân tích $2x^3-8x$ thành nhân tử.
Trước hết đặt nhân tử chung $2x$:
$$2x^3-8x=2x(x^2-4).$$
Trong ngoặc là hiệu hai bình phương:
$$x^2-4=(x-2)(x+2).$$
Vậy
$$2x^3-8x=2x(x-2)(x+2).$$
Nhóm các hạng tử
Phân tích $ax+ay+bx+by$ thành nhân tử.
Đúng. Hai nhóm cùng có nhân tử $x+y$.
Khai triển phương án này cho dấu của $ay$ và $bx$ không đúng.
Khai triển phương án này cho $ay$ và $by$ mang dấu âm.
Khai triển phương án này cho các hạng tử chứa $b$ mang dấu âm.
Lời giải
Nhóm $(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)$. Chọn A.
Phối hợp hai phương pháp
Phân tích đầy đủ $3x^3-12x$ thành nhân tử.
Đẳng thức đúng nhưng $x^2-4$ còn phân tích được.
Đẳng thức đúng nhưng chưa đặt hết nhân tử chung.
Đúng. Đã đặt nhân tử chung rồi dùng hiệu hai bình phương.
$(x-4)(x+4)=x^2-16$, không phải $x^2-4$.
Lời giải
Đặt $3x$ làm nhân tử chung: $3x^3-12x=3x(x^2-4)$. Tiếp tục dùng hiệu hai bình phương: $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Vậy kết quả là $3x(x-2)(x+2)$. Chọn C.
Kiến thức cần nhớ
Nhóm hạng tử nhằm tạo cùng một nhân tử, có thể phải đổi cách nhóm và phải đặc biệt chú ý dấu. Khi phối hợp phương pháp, tiếp tục phân tích cho đến khi các nhân tử không còn dạng quen thuộc trong phạm vi đã học.