Nhìn cấu tạo trước khi chọn công thức
Khi phân tích đa thức bằng hằng đẳng thức, trước hết quan sát số hạng và dấu:
- hai hạng tử, có dấu trừ: kiểm tra hiệu hai bình phương hoặc hiệu hai lập phương;
- hai hạng tử, có dấu cộng: kiểm tra tổng hai lập phương;
- ba hạng tử: kiểm tra bình phương của một tổng hoặc một hiệu;
- bốn hạng tử: kiểm tra lập phương của một tổng hoặc một hiệu.
Đây là dấu hiệu để thử, không phải kết luận ngay. Các hạng tử vẫn phải khớp hoàn toàn với công thức.
Ví dụ: nhận dạng bình phương
Phân tích $4x^2-12xy+9y^2$ thành nhân tử.
Ta có:
$$4x^2=(2x)^2,\qquad 9y^2=(3y)^2,$$
và số hạng giữa
$$-12xy=-2\cdot2x\cdot3y.$$
Vì vậy,
$$4x^2-12xy+9y^2=(2x-3y)^2.$$
Ví dụ: tiếp tục phân tích
Phân tích $x^4-16$ thành nhân tử.
Trước hết,
$$x^4-16=(x^2)^2-4^2=(x^2-4)(x^2+4).$$
Nhân tử $x^2-4$ vẫn là hiệu hai bình phương, nên
$$x^4-16=(x-2)(x+2)(x^2+4).$$
Trong phạm vi số thực ở lớp 8, $x^2+4$ không tiếp tục phân tích bằng các hằng đẳng thức đã học.
Hai lỗi thường gặp
Khi dùng hằng đẳng thức, cần tránh:
- kết luận $A^2+B^2=(A+B)(A-B)$; công thức hiệu hai bình phương chỉ áp dụng cho dấu trừ;
- chỉ kiểm tra hạng tử đầu và cuối của một tam thức mà bỏ qua hạng tử giữa.
Sau khi phân tích, nhân các nhân tử trở lại là một cách kiểm tra chắc chắn.
Phân tích tam thức thành nhân tử
Phân tích $9x^2+24xy+16y^2$ thành nhân tử.
Tích này bằng $9x^2-16y^2$, không có số hạng giữa.
Đúng. Cả ba hạng tử khớp bình phương của một tổng.
Bình phương của $9x$ là $81x^2$, không phải $9x^2$.
Số hạng giữa sẽ mang dấu âm.
Lời giải
Ta có $9x^2=(3x)^2$, $16y^2=(4y)^2$ và $24xy=2\cdot3x\cdot4y$. Do đó đa thức bằng $(3x+4y)^2$. Chọn B.
Phân tích đến dạng gọn
Kết quả phân tích đầy đủ của $x^4-81$ là
Đẳng thức đúng nhưng nhân tử $x^2-9$ còn phân tích được.
$(x-9)(x+9)=x^2-81$, không phải $x^4-81$.
Tích này bằng $(x^2-9)^2$, không phải $x^4-81$.
Đúng. Đã áp dụng hiệu hai bình phương hai lần.
Lời giải
Ta có $x^4-81=(x^2-9)(x^2+9)$. Tiếp tục $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Vậy kết quả đầy đủ là $(x-3)(x+3)(x^2+9)$. Chọn D.
Kiến thức cần nhớ
Muốn dùng hằng đẳng thức để phân tích đa thức, cần nhận dạng đúng cấu tạo, kiểm tra đủ mọi hạng tử và tiếp tục phân tích nếu một nhân tử còn có dạng quen thuộc.