Định lí Pythagore và ứng dụng

Trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có cạnh huyền $BC$, do đó $$BC^2=AB^2+AC^2.$$ Từ công thức trên có thể tính một cạnh khi biết hai cạnh còn lại: $$BC=\sqrt{AB^2+AC^2},$$ $$AB=\sqrt{BC^2-AC^2},\qquad AC=\sqrt{BC^2-AB^2}.$$ Độ dài là số dương nên lấy căn bậc hai số học.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Kẻ đường cao $AH$ ứng với cạnh huyền $BC$. Ta có $\triangle ABH\sim\triangle CBA$ và $\triangle ACH\sim\triangle BCA$ theo trường hợp góc–góc. Do đó $$AB^2=BH\cdot BC,\qquad AC^2=CH\cdot BC.$$ Cộng hai đẳng thức: $$AB^2+AC^2=(BH+CH)\cdot BC=BC^2.$$ Về mặt hình học, có thể dựng ba hình vuông có cạnh lần lượt bằng ba cạnh của tam giác vuông. Đẳng thức trên cho biết diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền bằng tổng diện tích hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông. Nếu hai cạnh góc vuông có độ dài $a,b$ và cạnh huyền có độ dài $c$ thì $$c^2=a^2+b^2.$$ Cách nhìn bằng diện tích giúp nhận ra rằng định lí liên hệ **bình phương độ dài**, không phải trực tiếp ba độ dài.

Nếu một tam giác có bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông; cạnh thứ nhất là cạnh huyền. Khi kiểm tra một bộ ba độ dài: 1. Xác định cạnh dài nhất, gọi độ dài là $c$. 2. Tính $c^2$ và tổng bình phương hai cạnh còn lại. 3. Nếu hai giá trị bằng nhau thì tam giác vuông; nếu không bằng nhau thì không thể kết luận tam giác vuông bằng định lí đảo. Trong bài toán cho ba số chưa khẳng định là độ dài ba cạnh của một tam giác, còn phải kiểm tra điều kiện lập thành tam giác.