Ba công thức cần dùng
Với hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a$, trung đoạn $d$, chiều cao $h$:
$$p=\frac{4a}{2}=2a,$$
$$S_{xq}=p\cdot d=2ad,$$
$$S_{tp}=S_{xq}+S_{\text{đáy}}=2ad+a^2,$$
$$V=\frac13S_{\text{đáy}}\cdot h=\frac13a^2h.$$
Diện tích xung quanh gồm bốn mặt bên; diện tích toàn phần gồm bốn mặt bên và mặt đáy.
Tìm trung đoạn từ chiều cao
Gọi $O$ là tâm hình vuông đáy, $H$ là trung điểm một cạnh đáy. Khi đó tam giác $SOH$ vuông tại $O$:
$$SH^2=SO^2+OH^2.$$
Nếu cạnh đáy bằng $a$ thì $OH=\dfrac a2$. Vì $SO=h$ và $SH=d$, ta có
$$d=\sqrt{h^2+\left(\frac a2\right)^2}.$$
Đây là tam giác vuông cần dùng khi đề cho chiều cao của khối và cạnh đáy. Nếu đề cho cạnh bên, cần xét tam giác vuông trong một mặt bên để tìm trung đoạn.
Ví dụ: chiếc lều hình chóp
Một chiếc lều có dạng hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy $2$ m, chiều cao $2$ m. Tính thể tích không khí trong lều và diện tích vải phủ bốn mặt bên, bỏ qua mép nối.
Diện tích đáy là $S_{\text{đáy}}=2^2=4$ m$^2$. Thể tích không khí:
$$V=\frac13\cdot4\cdot2=\frac83\text{ m}^3.$$
Với $OH=1$ m, tam giác $SOH$ vuông tại $O$ nên
$$d=SH=\sqrt{SO^2+OH^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5\text{ m}.$$
Nửa chu vi đáy là $p=4$ m. Diện tích vải phủ bốn mặt bên:
$$S_{xq}=p\cdot d=4\sqrt5\text{ m}^2.$$
Tính diện tích xung quanh
Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $10$ cm và trung đoạn $13$ cm. Diện tích xung quanh là
Kết quả này chỉ lấy $10\cdot13$, chưa dùng nửa chu vi đáy.
Đúng. Nửa chu vi đáy là $20$ cm.
Đây là diện tích toàn phần $260+100$, không phải diện tích xung quanh.
Kết quả này dùng chu vi đáy thay cho nửa chu vi đáy.
Lời giải
Nửa chu vi đáy là
$$p=\frac{4\cdot10}{2}=20\text{ cm}.$$
Vì vậy $S_{xq}=p\cdot d=20\cdot13=260$ cm$^2$. Chọn B.
Tính thể tích từ chu vi đáy
Một hình chóp tứ giác đều có chu vi đáy $12$ cm và chiều cao $9$ cm. Thể tích của hình chóp là
Đúng. Cạnh đáy là $3$ cm và $V=\dfrac13\cdot9\cdot9=27$ cm$^3$.
Chưa áp dụng đúng công thức thể tích.
Đây là tích diện tích đáy với chiều cao, chưa chia cho $3$.
Kết quả này dùng chu vi thay cho diện tích đáy.
Lời giải
Đáy là hình vuông nên cạnh đáy bằng $12:4=3$ cm. Diện tích đáy là $S=3^2=9$ cm$^2$. Do đó
$$V=\frac13S\cdot h=\frac13\cdot9\cdot9=27\text{ cm}^3.$$
Chọn A.
Kiến thức cần nhớ
Với hình chóp tứ giác đều, $S_{xq}=p\cdot d$, $S_{tp}=S_{xq}+S_{\text{đáy}}$ và $V=\dfrac13S_{\text{đáy}}h$. Phải phân biệt trung đoạn $d$ với chiều cao $h$ và xác định đúng diện tích mà bài toán yêu cầu.