Diện tích xung quanh
Diện tích xung quanh là tổng diện tích ba mặt bên. Vì ba mặt bên là các tam giác cân bằng nhau, cùng có chiều cao bằng trung đoạn $d$, nên
$$S_{xq}=p\cdot d,$$
trong đó $p$ là nửa chu vi đáy và $d$ là trung đoạn.
Nếu cạnh đáy bằng $a$ thì chu vi đáy bằng $3a$, do đó
$$p=\frac{3a}{2},\qquad S_{xq}=\frac{3a}{2}\,d.$$
Diện tích xung quanh chỉ gồm ba mặt bên, không gồm mặt đáy.
Thể tích
Thể tích hình chóp bằng một phần ba tích của diện tích đáy với chiều cao:
$$V=\frac13S\cdot h,$$
trong đó $S$ là diện tích đáy và $h$ là chiều cao của hình chóp.
Một hình chóp và một hình lăng trụ có cùng diện tích đáy, cùng chiều cao thì thể tích hình chóp bằng $\dfrac13$ thể tích hình lăng trụ. Điều này giúp ghi nhớ hệ số $\dfrac13$.
Tìm trung đoạn bằng định lí Pythagore
Nếu biết cạnh bên $SB$ và cạnh đáy $BC$, xét riêng mặt bên cân $SBC$. Gọi $H$ là trung điểm $BC$, khi đó $SH\perp BC$ và
$$BH=\frac{BC}{2}.$$
Trong tam giác vuông $SBH$,
$$SH=\sqrt{SB^2-BH^2}.$$
Đoạn $SH$ vừa tìm chính là trung đoạn $d$. Việc tách riêng tam giác vuông giúp tránh nhầm trung đoạn với chiều cao của hình chóp.
Ví dụ: tính diện tích xung quanh và thể tích
Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy $AB=6$ cm, trung đoạn $d=5$ cm, chiều cao hình chóp $h=8$ cm.
Nửa chu vi đáy là
$$p=\frac{3\cdot6}{2}=9\text{ cm}.$$
Diện tích xung quanh:
$$S_{xq}=p\cdot d=9\cdot5=45\text{ cm}^2.$$
Diện tích tam giác đều $ABC$ là $S=\dfrac{6^2\sqrt3}{4}=9\sqrt3$ cm$^2$. Vì vậy,
$$V=\frac13S\cdot h=\frac13\cdot9\sqrt3\cdot8=24\sqrt3\text{ cm}^3.$$
Tính diện tích xung quanh
Một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy $8$ cm và trung đoạn $6$ cm. Diện tích xung quanh là
Đúng. Nửa chu vi đáy là $12$ cm và $12\cdot6=72$ cm$^2$.
Chưa dùng đúng nửa chu vi đáy.
Kết quả này dùng cả chu vi đáy thay cho nửa chu vi đáy.
Kết quả lớn gấp bốn lần giá trị đúng.
Lời giải
Nửa chu vi đáy là
$$p=\frac{3\cdot8}{2}=12\text{ cm}.$$
Do đó $S_{xq}=p\cdot d=12\cdot6=72$ cm$^2$. Chọn A.
Tính thể tích
Một hình chóp tam giác đều có diện tích đáy $27$ cm$^2$ và chiều cao $10$ cm. Thể tích của hình chóp là
Đúng. Cần giữ hệ số $\dfrac13$ trong công thức thể tích.
Đây là tích $S\cdot h$, chưa chia cho $3$.
Kết quả này không đúng với công thức $V=\dfrac13Sh$.
Kết quả này lấy $27:9\cdot10$, không đúng công thức.
Lời giải
Áp dụng công thức thể tích hình chóp:
$$V=\frac13S\cdot h=\frac13\cdot27\cdot10=90\text{ cm}^3.$$
Chọn A.
Kiến thức cần nhớ
Với hình chóp tam giác đều, $S_{xq}=p\cdot d$ và $V=\dfrac13S\cdot h$. Trung đoạn $d$ dùng trong công thức diện tích xung quanh; chiều cao $h$ dùng trong công thức thể tích.