Cộng hai đa thức
Muốn cộng hai đa thức, có thể thực hiện theo ba bước:
1. viết tổng và đặt mỗi đa thức trong ngoặc;
2. bỏ ngoặc; dấu cộng trước ngoặc giữ nguyên dấu các hạng tử;
3. nhóm các hạng tử đồng dạng rồi thu gọn.
Với hai đa thức $A$, $B$, tổng $A+B$ vẫn là một đa thức. Phép cộng đa thức có các tính chất giao hoán và kết hợp như phép cộng các số.
Trừ hai đa thức
Muốn trừ đa thức $B$ khỏi đa thức $A$, viết $A-B$, bỏ ngoặc rồi thu gọn. Dấu trừ trước ngoặc làm đổi dấu **từng hạng tử** của đa thức bị trừ:
$$A-(b_1+b_2+\cdots+b_n)=A-b_1-b_2-\cdots-b_n.$$
Nếu trong ngoặc đã có hạng tử âm, hạng tử đó đổi thành dương. Đây là bước dễ sai nhất, nên cần giữ ngoặc cho đến khi đã xác định dấu của toàn bộ hạng tử.
Quan hệ giữa phép cộng và phép trừ
Với các đa thức $A$, $B$, $C$:
$$A-B=C\quad\Longleftrightarrow\quad A=B+C.$$
Quan hệ này giúp tìm một đa thức chưa biết. Chẳng hạn, nếu $A-C=B$ thì $C=A-B$; nếu $A+D=B$ thì $D=B-A$. Sau khi tìm được đa thức, có thể kiểm tra bằng cách thay lại vào đẳng thức ban đầu.
Ví dụ: tính hiệu hai đa thức
Cho
$$A=3x^2-2xy+y^2,\qquad B=x^2+4xy-2y^2.$$
Ta có
$$\begin{aligned}
A-B&=(3x^2-2xy+y^2)-(x^2+4xy-2y^2)\\
&=3x^2-2xy+y^2-x^2-4xy+2y^2\\
&=2x^2-6xy+3y^2.
\end{aligned}$$
Hạng tử $-2y^2$ trong $B$ đổi thành $+2y^2$ khi bỏ ngoặc có dấu trừ phía trước.
Cộng hai đa thức
Cho $A=2x^2-3xy+1$ và $B=-x^2+5xy-4$. Khi đó $A+B$ bằng
Các hệ số của các hạng tử đồng dạng chưa được cộng đúng.
Hệ số của $xy$ phải là $-3+5=2$.
Đúng. Tổng thu gọn là $x^2+2xy-3$.
Hệ số của $x^2$ phải là $2+(-1)=1$.
Lời giải
Ta có $A+B=(2-1)x^2+(-3+5)xy+(1-4)=x^2+2xy-3$. Chọn C.
Trừ hai đa thức
Cho $A=x^2-2xy+3$ và $B=2x^2+xy-1$. Khi đó $A-B$ bằng
Hệ số của $xy$ phải là $-2-1=-3$ và hằng số là $3+1=4$.
Đúng. Mọi hạng tử của $B$ đều được đổi dấu khi bỏ ngoặc.
Dấu trừ trước $B$ không được giữ nguyên dấu của $2x^2$.
Hằng tử $-1$ trong $B$ phải đổi thành $+1$.
Lời giải
Ta có $A-B=x^2-2xy+3-2x^2-xy+1=-x^2-3xy+4$. Chọn B.
Kiến thức cần nhớ
Cộng hoặc trừ đa thức đều gồm hai thao tác: bỏ dấu ngoặc và thu gọn. Dấu cộng giữ nguyên dấu; dấu trừ đổi dấu từng hạng tử trong ngoặc. Sau đó chỉ nhóm các hạng tử đồng dạng.