Phép chia đa thức cho đơn thức

Với hai đơn thức $A$, $B$ và $B\ne0$, ta nói $A$ chia hết cho $B$ nếu có một đa thức $Q$ sao cho $A=BQ$. Đơn thức $A$ chia hết cho đơn thức $B$ khi mỗi biến trong $B$ đều có trong $A$ với số mũ không lớn hơn số mũ tương ứng ở $A$. Khi phép chia là phép chia hết: 1. chia hệ số của $A$ cho hệ số của $B$; 2. với mỗi biến, trừ số mũ ở $B$ khỏi số mũ ở $A$; 3. nhân các kết quả. Biến không xuất hiện trong một đơn thức có thể được hiểu là mang số mũ $0$.

Một đa thức chia hết cho một đơn thức khác $0$ nếu **mọi hạng tử** của đa thức đều chia hết cho đơn thức đó. Muốn chia đa thức $A$ cho đơn thức $B$ trong trường hợp chia hết, chia từng hạng tử của $A$ cho $B$ rồi cộng các kết quả: $$\frac{A_1+A_2+\cdots+A_n}{B} =\frac{A_1}{B}+\frac{A_2}{B}+\cdots+\frac{A_n}{B}.$$ Trước khi tính, cần kiểm tra tất cả hạng tử. Chỉ một hạng tử không chia hết cũng đủ để kết luận cả đa thức không chia hết cho đơn thức đó.

Nếu $A:B=Q$ thì phải có $A=BQ$. Vì vậy, sau khi chia có thể nhân thương $Q$ với đơn thức chia $B$ để kiểm tra. Phép kiểm tra này đặc biệt hữu ích khi thương có nhiều hạng tử: phân phối $B$ vào từng hạng tử của $Q$ phải thu được đúng đa thức bị chia, kể cả dấu và số mũ.