Ba dấu hiệu đồng dạng của tam giác vuông
Hai tam giác vuông đồng dạng nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
1. Có một cặp góc nhọn bằng nhau.
2. Hai cặp cạnh góc vuông tương ứng tỉ lệ.
3. Cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng của tam giác kia.
Dấu hiệu thứ nhất là trường hợp góc–góc; dấu hiệu thứ hai là trường hợp cạnh–góc–cạnh vì hai góc vuông bằng nhau. Dấu hiệu thứ ba là trường hợp riêng của hai tam giác vuông.
Đường cao ứng với cạnh huyền
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và $AH\perp BC$. Hai tam giác nhỏ $ABH$, $ACH$ đều đồng dạng với tam giác $ABC$ và đồng dạng với nhau:
$$\triangle ABH\sim\triangle CBA,qquad
\triangle ACH\sim\triangle BCA.$$
Từ các cặp cạnh tương ứng có thể suy ra
$$AB^2=BH\cdot BC,\qquad AC^2=CH\cdot BC,$$
$$AH^2=BH\cdot CH.$$
Các hệ thức trên phải được dùng cùng đúng đoạn hình chiếu: $BH$ đi với cạnh góc vuông $AB$, còn $CH$ đi với cạnh góc vuông $AC$.
Ví dụ: tính đường cao ứng với cạnh huyền
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ chia cạnh huyền thành $BH=4$ cm và $CH=9$ cm. Tính $AH$.
Từ các tam giác vuông đồng dạng, ta có
$$AH^2=BH\cdot CH=4\cdot9=36.$$
Vì $AH>0$ nên $AH=6$ cm.
Ứng dụng đo gián tiếp
Khi các tia nắng được coi là song song, vật thẳng đứng và bóng của vật tạo thành một tam giác vuông. Hai vật được đo cùng thời điểm tạo ra hai tam giác vuông có một cặp góc nhọn bằng nhau, nên chúng đồng dạng.
Nhờ đó có thể tính chiều cao của cây, cột cờ hoặc công trình từ chiều cao và độ dài bóng của một vật chuẩn. Các độ dài trong cùng một tỉ số phải cùng loại: chiều cao tương ứng với chiều cao, bóng tương ứng với bóng.
Dùng một góc nhọn
Hai tam giác $ABC$ và $MNP$ lần lượt vuông tại $A$ và $M$. Biết $\widehat B=\widehat N$. Kết luận đúng là
Đúng. Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau.
Thứ tự này ghép $B$ với $P$, trái với dữ kiện $\widehat B=\widehat N$.
Đồng dạng không đủ để kết luận các cạnh tương ứng bằng nhau.
Hai góc vuông và một cặp góc nhọn bằng nhau đã đủ.
Lời giải
Ta có $\widehat A=\widehat M=90^\circ$ và $\widehat B=\widehat N$. Hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc–góc, với thứ tự $A\leftrightarrow M$, $B\leftrightarrow N$, $C\leftrightarrow P$. Vì vậy $\triangle ABC\sim\triangle MNP$. Chọn A.
Dùng hệ thức đường cao
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AH\perp BC$. Biết $BH=3$ cm, $CH=12$ cm. Độ dài $AH$ là
Đúng. $AH=\sqrt{3\cdot12}=6$ cm.
Đây là hiệu $CH-BH$, không phải giá trị của $AH$.
Đây là tổng $BH+CH=BC$.
$36$ là bình phương độ dài $AH$.
Lời giải
Từ các tam giác vuông đồng dạng,
$$AH^2=BH\cdot CH=3\cdot12=36.$$
Vì $AH>0$ nên $AH=6$ cm. Chọn A.
Kiến thức cần nhớ
Hai tam giác vuông đồng dạng khi có một cặp góc nhọn bằng nhau, hai cặp cạnh góc vuông tỉ lệ, hoặc cạnh huyền và một cặp cạnh góc vuông tương ứng tỉ lệ. Đường cao ứng với cạnh huyền tạo ra ba tam giác vuông đôi một đồng dạng.