Xác suất là gì?
Khả năng xảy ra của một biến cố được đo bằng một số nhận giá trị từ $0$ đến $1$. Số đó gọi là **xác suất của biến cố**.
- Xác suất càng gần $1$, biến cố càng có nhiều khả năng xảy ra.
- Xác suất càng gần $0$, biến cố càng ít có khả năng xảy ra.
- Xác suất có thể được viết dưới dạng phân số, số thập phân hoặc phần trăm.
Chẳng hạn, $\dfrac{1}{2}=0{,}5=50\%$. Ba cách viết này biểu thị cùng một xác suất.
Hai mốc đặc biệt
Biến cố chắc chắn có xác suất bằng $1$; biến cố không thể có xác suất bằng $0$.
Vì vậy, trước khi tính xác suất, nên kiểm tra biến cố có thuộc một trong hai loại này hay không. Chẳng hạn, khi gieo hai con xúc xắc:
- tổng số chấm nhỏ hơn $13$ là biến cố chắc chắn, nên có xác suất $1$;
- tổng số chấm bằng $1$ là biến cố không thể, nên có xác suất $0$.
Các biến cố đồng khả năng
Các biến cố có khả năng xảy ra như nhau gọi là **các biến cố đồng khả năng**.
Trong một trò chơi hoặc thí nghiệm, nếu có $k$ biến cố đồng khả năng và mỗi lần luôn xảy ra duy nhất một trong $k$ biến cố đó thì xác suất của mỗi biến cố bằng
$$\frac{1}{k}.$$
Điều quan trọng là phải có căn cứ để khẳng định đồng khả năng. Ví dụ:
- đồng xu hoặc xúc xắc được chế tạo cân đối;
- các tấm thẻ giống nhau được rút ngẫu nhiên;
- vòng quay được chia thành các phần có diện tích bằng nhau.
Không được chỉ đếm số tên gọi rồi kết luận các biến cố đồng khả năng.
Ví dụ: gieo một con xúc xắc cân đối
Gieo một con xúc xắc cân đối. Xét biến cố $A$: “Số chấm xuất hiện bằng $4$”.
Có sáu biến cố đồng khả năng:
$$E_1: \text{xuất hiện 1 chấm},\quad \ldots,\quad E_6: \text{xuất hiện 6 chấm}.$$
Mỗi lần gieo luôn xảy ra duy nhất một trong sáu biến cố này. Biến cố $A$ chính là $E_4$, nên xác suất của $A$ bằng
$$\frac{1}{6}.$$
Điều kiện “xúc xắc cân đối” là căn cứ để coi sáu biến cố đồng khả năng.
Ví dụ: ghép các kết quả thành hai nhóm
Một vòng quay được chia thành sáu phần bằng nhau, ghi các số từ $1$ đến $6$. Xét hai biến cố:
- $C$: “Mũi tên dừng ở số chẵn”.
- $L$: “Mũi tên dừng ở số lẻ”.
Nhóm số chẵn gồm $2,4,6$; nhóm số lẻ gồm $1,3,5$. Hai nhóm có số phần bằng nhau và các phần đều có diện tích bằng nhau, nên $C$ và $L$ là hai biến cố đồng khả năng. Mỗi lần quay xảy ra duy nhất một trong hai biến cố. Do đó, xác suất của mỗi biến cố $C$ và $L$ bằng
$$\frac{1}{2}.$$
Lập luận ở đây dựa trên hai nhóm cân xứng, không chỉ dựa vào việc có hai tên biến cố.
Xác suất của biến cố chắc chắn
Gieo một con xúc xắc. Xác suất của biến cố “Số chấm xuất hiện nhỏ hơn $7$” bằng
Xác suất $0$ thuộc về biến cố không thể.
Đúng. Biến cố chắc chắn có xác suất bằng $1$.
Giá trị $1/6$ là xác suất xuất hiện một mặt cụ thể của xúc xắc cân đối.
Biến cố đã cho không chỉ xảy ra trong một nửa số trường hợp.
Lời giải
Số chấm của xúc xắc luôn thuộc các số $1,2,3,4,5,6$, nên biến cố “Số chấm xuất hiện nhỏ hơn $7$” là biến cố chắc chắn. Xác suất của biến cố bằng $1$. Chọn B.
Xác suất của các biến cố đồng khả năng
Một vòng quay được chia thành bốn phần bằng nhau, ghi các số $1,2,3,4$. Quay vòng một lần. Xác suất để mũi tên dừng ở phần ghi số $3$ bằng
Biến cố không chắc chắn xảy ra.
Biến cố có thể xảy ra nên xác suất không bằng $0$.
Có bốn phần đồng khả năng, không phải hai phần.
Đúng. Một trong bốn biến cố đồng khả năng có xác suất $1/4$.
Lời giải
Bốn phần có diện tích bằng nhau nên bốn biến cố mũi tên dừng ở từng phần là đồng khả năng. Mỗi lần chỉ có một phần được chọn, nên xác suất dừng ở phần ghi số $3$ là $1/4$. Chọn D.
Kiến thức cần nhớ
Xác suất đo khả năng xảy ra của biến cố và nằm từ $0$ đến $1$. Biến cố chắc chắn có xác suất $1$, biến cố không thể có xác suất $0$. Nếu có $k$ biến cố đồng khả năng và mỗi lần xảy ra duy nhất một biến cố thì xác suất của mỗi biến cố bằng $1/k$.