Bốn mạch kiến thức cả năm
Kiến thức Toán 7 được kết nối qua bốn mạch lớn:
- **Số và Đại số:** số hữu tỉ, số thực, tỉ lệ thức, đại lượng tỉ lệ, biểu thức và đa thức một biến.
- **Hình học và Đo lường:** góc, đường thẳng song song, tam giác, các đường đặc biệt trong tam giác, hình hộp và lăng trụ đứng.
- **Thống kê:** thu thập, phân loại và biểu diễn dữ liệu.
- **Xác suất:** biến cố và xác suất trong mô hình có các kết quả đồng khả năng.
Bài toán tổng hợp thường nối hai nội dung, chẳng hạn dùng đa thức để biểu thị thể tích hoặc dùng tỉ lệ phần trăm để đọc biểu đồ. Chỉ kết nối khi các đại lượng thật sự liên quan.
Chọn công cụ từ dấu hiệu của đề bài
Một số dấu hiệu giúp chọn cách làm:
- “cùng tổng, biết tỉ lệ” → đặt các đại lượng theo cùng một hệ số hoặc dùng dãy tỉ số bằng nhau;
- “cùng thời gian, năng suất khác nhau” → xem xét quan hệ tỉ lệ nghịch;
- “chứng minh hai đoạn bằng nhau” → tìm hai tam giác bằng nhau hoặc dùng tính chất điểm cách đều;
- “diện tích xung quanh” → dùng chu vi đáy nhân chiều cao;
- “các phần bằng nhau” → kiểm tra điều kiện đồng khả năng rồi đếm phần thuận lợi.
Sau khi tính, phải quay lại câu hỏi để ghi kết luận đúng đại lượng và đơn vị.
Ví dụ: cùng thời gian làm việc
Hai người cùng làm trong một khoảng thời gian và hoàn thành tổng cộng $136$ sản phẩm. Người thứ nhất cần $9$ phút cho một sản phẩm, người thứ hai cần $8$ phút cho một sản phẩm.
Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm của hai người. Vì cùng thời gian nên số sản phẩm tỉ lệ nghịch với thời gian làm một sản phẩm:
$$9x=8y,\qquad x+y=136.$$
Suy ra $\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{9}$. Đặt $x=8k,y=9k$, ta có $17k=136$, nên $k=8$.
Vậy người thứ nhất làm $64$ sản phẩm, người thứ hai làm $72$ sản phẩm.
Ôn đại lượng tỉ lệ nghịch
Hai người làm việc trong cùng một thời gian. Người thứ nhất cần $9$ phút, người thứ hai cần $8$ phút để làm một sản phẩm. Nếu cả hai làm được $136$ sản phẩm thì số sản phẩm của người thứ nhất là
$72$ là số sản phẩm của người thứ hai, người làm nhanh hơn.
Đúng. Người thứ nhất ứng với $8$ phần, mỗi phần bằng $8$ sản phẩm.
Đã chia đều, trong khi thời gian làm một sản phẩm khác nhau.
Chưa thỏa mãn đồng thời tỉ lệ và tổng $136$.
Lời giải
Số sản phẩm tỉ lệ nghịch với thời gian làm một sản phẩm nên $x:y=8:9$. Tổng số phần là $17$, mỗi phần ứng với $136:17=8$. Người thứ nhất làm $8\cdot8=64$ sản phẩm. Chọn B.
Ôn xác suất trong mô hình đồng khả năng
Một vòng quay có $12$ hình quạt bằng nhau, trong đó đúng $1$ hình quạt ghi $2\,000$ điểm. Xác suất để kim chỉ vào hình quạt $2\,000$ điểm là
Xác suất bằng $1$ chỉ dành cho biến cố chắc chắn.
Biến cố này có thể xảy ra nên xác suất không bằng $0$.
Chỉ có một trong mười hai phần thuận lợi, không phải một nửa.
Đúng. Có $1$ kết quả thuận lợi trong $12$ kết quả đồng khả năng.
Lời giải
Mười hai hình quạt bằng nhau nên đồng khả năng; có đúng một hình quạt thuận lợi. Xác suất cần tìm là $\dfrac1{12}$. Chọn D.
Kiến thức cần nhớ
Bài ôn cuối năm không đòi hỏi dùng mọi kiến thức cùng lúc. Cần nhận đúng chủ đề, chọn đúng công cụ, giải theo từng bước rồi kiểm tra điều kiện, đơn vị và kết luận. Với mô hình xác suất, phải xác nhận các kết quả đồng khả năng trước khi đếm.