Định nghĩa đường trung trực
Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng ấy gọi là **đường trung trực** của đoạn thẳng.
Nếu $O$ là trung điểm của $AB$ và $d\perp AB$ tại $O$ thì $d$ là đường trung trực của $AB$.
Hai điều kiện đều cần thiết: chỉ đi qua trung điểm hoặc chỉ vuông góc với đoạn thẳng vẫn chưa đủ.
Điểm cách đều hai đầu mút
Có hai chiều tính chất:
- Nếu $M$ thuộc đường trung trực của $AB$ thì $MA=MB$.
- Nếu $MA=MB$ thì $M$ thuộc đường trung trực của $AB$.
Vì vậy, đường trung trực của $AB$ chính là tập hợp các điểm cách đều $A$ và $B$. Khi trình bày, cần xác định đang dùng chiều nào.
Dựng bằng thước và compa
Muốn dựng đường trung trực của $AB$:
1. Chọn bán kính lớn hơn $\dfrac12AB$.
2. Vẽ hai cung tròn cùng bán kính, lần lượt tâm $A$ và tâm $B$; chúng cắt nhau tại $M$, $N$.
3. Kẻ đường thẳng $MN$.
Vì $MA=MB$ và $NA=NB$, hai điểm $M$, $N$ đều thuộc đường trung trực của $AB$. Do đó $MN$ là đường trung trực cần dựng.
Ví dụ: suy ra khoảng cách bằng nhau
Cho $d$ là đường trung trực của $AB$ và $M\in d$. Biết $MA=5,4\,\text{cm}$.
Vì $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$ nên $M$ cách đều hai đầu mút:
$$MB=MA=5,4\,\text{cm}.$$
Chiều dùng ở đây là “thuộc đường trung trực $\Rightarrow$ cách đều hai đầu mút”.
Nhận biết đường trung trực
Đường thẳng $d$ vuông góc với đoạn $AB$ tại $O$ và $OA=OB$. Kết luận đúng là
Đúng. Có đủ điều kiện đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng.
Giả thiết cho $d\perp AB$, không phải song song.
Điểm $O$ nằm trên đoạn $AB$ vì $d$ vuông góc với $AB$ tại $O$.
Khái niệm đường trung trực áp dụng cho đoạn thẳng $AB$, không đảo vai trò như vậy.
Lời giải
Điều kiện $OA=OB$ cho biết $O$ là trung điểm của $AB$; lại có $d\perp AB$ tại $O$. Vì vậy $d$ là đường trung trực của $AB$. Chọn A.
Dùng tính chất cách đều
Điểm $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$ và $MA=7,2\,\text{cm}$. Khi đó $MB$ bằng
Không chia đôi khoảng cách $MA$.
Đúng. $MA=MB$.
Không cộng hai khoảng cách bằng nhau.
Dữ kiện đường trung trực đã xác định được $MB$.
Lời giải
Điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút, nên $MB=MA=7,2\,\text{cm}$. Chọn B.
Kiến thức cần nhớ
Đường trung trực vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm. Điểm thuộc đường trung trực khi và chỉ khi cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.